5.3.2. Методы обработки временных, пространственных и пространственно-временных совокупностей
Эти методы занимают ведущее место с позиции формализованного прогнозирования и существенно варьируют по сложности используемых алгоритмов. Выбор того или иного метода зависит от множества факторов, в том числе имеющихся в наличии исходных данных. По этому параметру можно выделить три типовые ситуации.
Наличие временного ряда. Эта ситуация встречается на практике наиболее часто: финансовый менеджер или аналитик имеет в своем распоряжении данные о динамике показателя, на основании которых требуется построить приемлемый прогноз.
Динамический (или временной) ряд представляет собой совокупность значений изучаемого показателя, относящихся к некоторым последовательным интервалам или моментам времени; в первом случае ряд называется интервальным, во втором — моментным. Временной интервал, заложенный в основу ряда, чаще всего предполагается постоянным (год, месяц, день и т. п.). Пример интервального ряда: данные о годовом товарообороте магазина за ряд лет; пример моментного ряда: данные о стоимости основных средств данного магазина на начало года за ряд лет.
Динамический ряд обычно представляется следующим образом:
у1,у2, ...,уk, (5.4)
где уk, — элемент ряда, называемый обычно уровнем ряда, k= 1,2,...,n; n — количество базисных периодов.
Наиболее типовая ситуация при обработке динамического ряда — выделение тренда. Это можно сделать с помощью различных методов1:
• метод "на глазок". Возможны различные его варианты: например, построение приблизительного графика зависимости по статистическим данным, представленным графически; расчет среднего темпа прироста; определение прогнозируемого значения уровня ряда, главным образом, на основе интуиции и с минимальным привлечением статистических данных. Аналитики шутливо называют подобный способ «методом трех П», от слов: пол, палец, потолок;
• метод скользящей средней. Временной ряд делится на сегменты, содержащие, например, по три элемента ряда; для каждой «тройки» рассчитывается средняя. Этим достигается сглаживание отдельных выбросов от общей тенденции. Полученный ряд средних подвергается визуальному или количественному анализу для выявления тенденции;
• метод усреднения по левой и правой половинам. Один из вариантов таков: ряд разбивают на две части, находят среднее значение признака для каждой половины, строят график в виде прямой, проходящей через найденные два значения;
• метод наименьших квадратов (построение уравнения регрессии, чаще всего линейного, поскольку оно легче поддается интерпретации, хотя возможно построение любой нелинейной формы тренда).
Как пример применения регрессионных моделей для целей прогнозирования упомянем о двух методах: простом динамическом анализе и анализе с помощью авторегрессионных зависимостей.
Первый метод исходит из предпосылки, что прогнозируемый показатель (у) изменяется прямо (обратно) пропорционально с течением времени. Поэтому для определения прогнозных значений показателя у строится, например, следующая зависимость:
уt = a0 +att, (5.5)
где t - порядковый номер периода.
Параметры уравнения регрессии (a0, a1) находятся, как правило, методом наименьших квадратов. Подставляя в формулу нужное значение t, можно рассчитать требуемый прогноз.
В основу второго метода заложена очевидная предпосылка о том, что экономические процессы имеют определенную специфику. Они отличаются, во-первых, взаимозависимостью и, во-вторых, определенной инерционностью. Последнее
1 Напомним, что временной ряд характеризуется базовыми количественными характеристиками (темпом роста, темпом прироста, абсолютным значением одного темпа прироста и др.). Подробную информацию об этих характеристиках, равно как и о других инструментальных методах анализа рядов динамики можно найти: (Елисеева, Юзбашев. С. 445—525; Ковалев, 2001(a)],
означает, что значение практически любого экономического показателя в момент времени ( зависит определенным образом от состояния этого показателя в предыдущих периодах (в данном случае мы абстрагируемся от влияния других факторов), т. е. значения прогнозируемого показателя в прошлых периодах должны рассматриваться как факторные признаки Уравнение авторегрессионной зависимости в наиболее общей форме имеет вид
уt = а0 + аууt-1 + а2уt-2 + . + akyt-k, (5.6)
где уt — прогнозируемое значение показателя у в момент времени t, уt-1 - значение показателя y в момент времени (t - k), ak — k-й коэффициент регрессии
Точные прогнозные значения могут быть получены уже при k = 1 На практике также нередко используют модификацию приведенного уравнения, вводя в него в качестве фактора период (момент) времени t В этом случае уравнение регрессии будет иметь вид
уt = а0 + а1уt-1 + a2t. (5.7)
Коэффициенты регрессии данного уравнения могут быть найдены методом наименьших квадратов. Соответствующая система нормальных уравнений будет иметь вид
|
|
(5.8)
где j — длина ряда динамики показателя у. уменьшенная на единицу.
Для характеристики адекватности уравнения авторегрессионной зависимости можно использовать величину среднего относительного линейного отклонения:
где yk — расчетная величина показателя у в момент времени к, уk— фактическая величина показателя у в момент времени к, п — число членов ряда
Если ε< 15%, считается, что уравнение авторегрессии может использоваться в прогнозных целях Отметим, что ввиду простоты расчета критерий ε довольно часто применяется при построении регрессионных моделей
Пример
Используя аппарат авторегрессионых зависимостей, построить уравнение регрессии для прогнозирования объема реализации на основании следующих данных о динамике этого показателя (млн руб) 17, 16, 21, 24, 23, 26, 28
Решение
Уравнение регрессии будет строиться в виде уравнения (5 3), промежуточные данные для построения системы нормальных уравнений целесообразно оформлять следующим образом
|
yt-1 |
t |
yt |
y2t-1 |
t2 |
tyt-1 |
tyt |
ytyt-1 |
yt |
|
17 |
1 |
16 |
289 |
1 |
17 |
16 |
272 |
17,5 |
|
16 |
2 |
21 |
256 |
4 |
32 |
42 |
336 |
20 8 |
|
21 |
3 |
24 |
441 |
9 |
63 |
72 |
504 |
21,6 |
|
24 |
4 |
23 |
576 |
16 |
96 |
92 |
552 |
23,3 |
|
23 |
5 |
26 |
529 |
25 |
115 |
130 |
598 |
26,6 |
|
26 |
6 |
28 |
676 |
36 |
156 |
168 |
728 |
28,2 |
|
127 |
21 |
138 |
2767 |
91 |
4799 |
520 |
2990 |
|
Система нормальных уравнений имеет вид
Решая эту систему, получаем уравнение регрессии
у, = 21,7-0,42yt-1 + 2,91t. Данное уравнение пригодно для прогнозных целей, поскольку
ε = 53%<15%. Можно рассчитать прогнозное значение показателя у, для t = 7: уt =21,7-0,42-28+2,91*7 = 303
Наличие пространственной совокупности. Эта ситуация имеет место в том случае, если по некоторым причинам статистические данные о показателе отсутствуют либо есть основание полагать, что его значение определяется влиянием некоторых факторов. Может применяться многофакторный регрессионный анализ, представляющий собой распространение простого динамического анализа на многомерный случай. В результате качественного анализа выделяется k факторов (x1, x2, ... , xк), влияющих, по мнению аналитика, на изменение прогнозируемого показателя (у), и строится чаще всего линейная регрессионная зависимость типа
у = а0 + atxt + а2х2 +...+ акхк, (5.9)
где ak — коэффициенты регрессии.
Наличие пространственно-временной совокупности. Данная ситуация имеет место в том случае, когда: (а) длина ряда динамики недостаточна для построения статистически значимых прогнозов; (б) аналитик имеет намерение учесть в прогнозе влияние факторов, различающихся по экономической природе, и их динамики. Исходными данными служат матрицы показателей, каждая из которых представляет собой значения тех же показателей за разные периоды или на разные последовательные даты. Методы обработки таких совокупностей описаны в отечественной литературе и включают, в частности, осреднение параметров одногодичных уравнений регрессии, метод заводолет, ковариационный анализ и т.д. (см.: [Крастинь]).