6.3.5. Непрерывное начисление процентов
Все рассмотренные выше проценты называются дискретными, поскольку их начисление осуществляется за фиксированный промежуток времени (год, квартал, месяц, день, даже час). Уменьшая этот промежуток (период начисления) и увеличивая частоту начисления процентов, можно перейти к так называемым непрерывным процентам.
Уже отмечалось, что в зависимости от частоты начисления процентов наращение суммы осуществляется разными темпами, причем с возрастанием частоты накопленная сумма увеличивается. Максимально возможное наращение осуществляется при бесконечном дроблении годового интервала. Из формулы (6.10) следует
|
|
|
|
|
так как согласно второму замечательному пределу |
где трансцен-
дентное число е ≈ 2,718281
Чтобы отличить непрерывную ставку от обычной (дискретной), вводят специальное обозначение непрерывной ставки — δ и называют ее силой роста. Таким образом, формула для нахождения наращенной суммы за п лет при непрерывном начислении процентов принимает вид
|
|
где еδn — множитель наращения.
(6.15)
Формулой (6.15) пользуются и в тех случаях, когда п не является целым числом. Таким образом, при непрерывном начислении процентов в пределах одного года используется следующая базовая формула:
FV = Реδ (6.16)
Пример
Рассчитать накопленную сумму для различных вариантов начисления процентов за один год, если исходная сумма Р = 1000 руб. и r = 10%.
Решение
Результаты, полученные для некоторых вариантов, приведем в виде таблицы, причем в предпоследнем столбце вычислены разности между наращениями с данным числом начисления процентов и базисным, а в последнем столбце указаны разности между наращенными суммами двух соседних строчек.
|
Наращиваемая сумма |
Частота начислена |
Наращенная сумма |
Наращение |
|
|
базисное |
цепное |
|||
|
1000 |
Ежегодное (т = 1) |
1100,00 |
- |
- |
|
1000 |
Полугодовое (т = 2) |
1102,50 |
2.50 |
2,50 |
|
1000 |
Квартальное (т = 4) |
1103,81 |
3.81 |
1,31 |
|
1000 |
Ежемесячное (m = 12) |
1104,71 |
4.71 |
0.90 |
|
1000 |
Ежедневное (т = 365) |
1105,16 |
5,16 |
0.45 |
|
1000 |
Непрерывное (т = ∞) |
1105.17 |
5,17 |
0.01 |
Как и следовало ожидать, приведенные расчеты подтверждают наличие прямой зависимости между частотой начисления процентов и накопленной суммой. Последний столбец таблицы показывает, что с увеличением частоты начисления темп прироста накопленной суммы уменьшается. В частности, видно, что переход от ежедневного к непрерывному начислению процентов не имеет какого-либо значимого эффекта.
Изменение накапливаемой суммы в зависимости от частоты начисления показано на рис. 6.4. Сравнительная характеристика и интерпретация приведенных графиков очевидны, вместе с тем эти графики позволяют наглядно представить влияние частоты начисления процентов. При дискретном наращении каждая ступенька характеризует прирост основной суммы в результате очередного начисления, причем величина ступеньки все время возрастает. В рамках одного года одной ступеньке на левом графике соответствуют две ступеньки на среднем графике меньшего размера, однако в сумме они превышают эту ступеньку однократного начисления, Таким образом, ордината точки, соответствующей концу трехлетнего периода, на среднем графике будет выше, чем на левом. Еще более быстрым темпом идет наращение при непрерывном начислении, что и показывает график справа.
|
|
|
|
|
|
Рис. 6.4. Различные варианты начисления процентов
Несложно найти связь между силой роста 5 и годовой процентной ставкой r в случае однократного начисления процентов в рамках одного года (п = 1 m = 1). Применение 5 и r к одной и той же исходной сумме Р должно дать одинаковый результат FV. Приравнивая наращенные суммы в формулах (6.10) и (6.16), полу-
чим
r = еδ - 1 или δ = ln(l + r).
(6.17)
При ставках до 10% сила роста и годовая ставка совпадают с точностью до 0,01, т, е. можно в этих пределах использовать приближенное равенство δ = r.
Пример
На сумму 200 тыс. руб. начисляются непрерывные проценты по ставке 8 = 8% Определить наращенную сумму через 5 лет.
Решение
По формуле (6.16), полагая δ = 0,08% сразу получим FVn = 200е008*5 = = 298,4 тыс. руб. Если в данном случае применить формулу (6.10) при и = 5 и m = 1, т. е. осуществлять начисление обычных сложных процентов по ставке r = 0,08, то получим сумму, не существенно отличающуюся от вычисленной: FVn = 200-1,469 = 293,8 тыс. руб. Вновь видим, что переход к непрерывному начислению процентов не приводит к существенному увеличению наращенной суммы.
Непрерывное начисление процентов может использоваться при анализе сложных финансовых задач (например, обоснование и выбор инвестиционных решений). Оценивая работу финансового учреждения за период, в котором платежи поступают многократно, целесообразно предполагать, что накапливаемые суммы непрерывно меняются во времени, и применять непрерывное начисление процентов.
Бывают ситуации, когда непрерывное начисление процентов применяется непосредственно при работе с клиентами. Так, в начале 1975 г. в США [Шарп, Александер, Бэйли, с. 140] ставка процентных выплат но займам и депозитам сроком 6—10 лет была ограничена величиной 7,75% годовых, однако не лимитировалось число начислений проценюв в течение года, чем и воспользовались компании в целях привлечения вкладчиков. Одна из компаний предлагала непрерывное начисление процентов при годовой ставке 7,75%, которая в этих условиях стала непрерывной и представляла собой силу роста. Обозначая 5 = 0,0775, получим r=е0,0775 — 1= 1,0806, т.е. компания установила процентную годовую ставку r = 8,06%.