6.3.1. Понятия простого и сложного процентов
Предоставляя свои денежные средства в долг, их владелец получает определенный доход в виде процентов, начисляемых по некоторому алгоритму в течение определенного промежутка времени. Поскольку стандартным временным интервалом в финансовых операциях является один год, наиболее распространен вариант, когда процентная ставка устанавливается в виде годовой ставки, подразумевающей однократное начисление процентов по истечении года после получения ссуды. Известны две основные схемы дискретного начисления: схема простых процентов (simple interest) и схема сложных процентов (compound interest).
Схема простых процентов предполагает неизменность базы, с которой происходит начисление. Пусть исходный инвестируемый капитал равен Р; требуемая доходность — г (в долях единицы). Считается, что инвестиция сделана на условиях простого процента, если инвестированный капитал ежегодно увеличивается на величину Рr. Таким образом, размер инвестированного капитала (Rn) через п лет будет равен
Rn = Р + Рr + ... + Pr = Р(1 + пr). (6.5)
Считается, что инвестиция сделана на условиях сложного процента, если очередной годовой доход исчисляется не с исходной величины инвестированного капитала, а с общей суммы, включающей ранее начисленные и не востребованные инвестором проценты. Б этом случае происходит капитализация процентов по мере их начисления, т. е. база, с которой начисляются проценты, все время возрастает. Следовательно, размер инвестированного капитала будет равен
к концу первого года: FV1=Р + Рr = Р(1 + r);
к концу второго года: FV2 = FV1 + FV1r = FV1(1 + r) = P(1 + r)2 ;
к концу n-го года: FVn = Р(1 + r)n
Как же соотносятся величины Rn и FVn? Это чрезвычайно важно знать при проведении финансовых операций. Все зависит от величины п. Сравним множители наращения по простым и сложным процентам, т.е. сравним (1 + пr) и (1 +r)n. Очевидно, что при n = 1 эти множители совпадают и равны (1 + r). Можно показать, что при любом r справедливы неравенства (1 + пr) > (1 + r)n, если 0 < п < 1 и (1 + пr) < (1 +r)n, если п> 1 Итак,
• Rn>FVn при 0 < п <1
• Rn < FVn при п > 1
Графически взаимосвязь FVn и Rn можно представить следующим образом (рис. 6.2).
Рис. 6.2. Простая и сложная схемы наращения капитала
Таким образом, в случае ежегодного начисления процентов для лица, предоставляющего кредит:
• более выгодной является схема простых процентов, если срок ссуды менее одного года (проценты начисляются однократно в конце периода);
• более выгодной является схема сложных процентов, если срок ссуды превышает один год (проценты начисляются ежегодно);
• обе схемы дают одинаковые результаты при продолжительности периода 1 год и однократном начислении процентов.
В случае краткосрочных ссуд со сроком погашения до одного года в качестве показателя п берется величина, характеризующая удельный вес длины подпериода (дни, месяц, квартал, полугодие) в общем периоде (год). Длина различных временных интервалов в расчетах может округляться: месяц — 30 дней; квартал — 90 дней; полугодие — 180 дней; год — 360 (365 или 366) дней.
Пример
Рассчитать наращенную сумму с исходной суммы в 1 тыс. долл. при размещении ее в банке на условиях начисления простых и сложных процентов, если: а) годовая ставка 20%; б) периоды наращения: 90 дней, 180 дней, 1 год, 5 лет, 10 лет. Полагать, что в году 360 дней.
Результаты расчетов имеют следующий вид.
(тыс. долл.)
|
Схема начисления |
90 дней |
180 дней |
1 год |
5 лет 1 10 лет |
|
|
(n=1/4) |
(n=1/2) |
(n=1) |
(n=5) (n=10) |
||
|
Простые проценты |
1,05 |
1,10 |
1,20 |
2,0 |
3,0 |
|
Сложные проценты |
1,0466 |
1,0954 |
1,20 |
2,4883 |
6,1917 |
Таким образом, если денежные средства размещены в банке на срок 90 дней (менее одного года), то наращенная сумма составит: при использовании схемы
простых процентов — 1,05 тыс. долл.; при использовании схемы сложных процентов — 1,0466 тыс. долл. Следовательно, более выгодна первая схема (разница — 3,4 долл.). Если срок размещения денежных средств превышает один год, ситуация меняется диаметрально: более выгодна схема сложных процентов, причем наращение в этом случае идет очень быстрыми темпами. Так, при ставке в 20% годовых удвоение исходной суммы происходит следующим темпом: при использовании схемы простых процентов за 5 лет, а при использовании схемы сложных процентов — менее чем за 4 года.
Использование в расчетах сложного процента в случае многократного его начисления более логично, поскольку в этом случае капитал, генерирующий доходы, постоянно возрастает. При применении простого процента доходы по мере их начисления целесообразно снимать для потребления или использования в других инвестиционных проектах или текущей деятельности.
Итак, формула наращения по схеме сложных процентов имеет вид
FVn = P(l +r)n = PFM1(r,n), (6.6)
где FVn — сумма, ожидаемая к поступлению через п базисных периодов;
CF — исходная сумма;
r — ставка наращения;
FM1(r,n) — мультиплицирующий множитель.
Множитель FMl(r, п) = (1 + r)n инвариантен по отношению к суммовым величинам, а потому для удобства пользования его можно табулировать для различных комбинаций r и п (см. Приложение 3). Этот множитель называется мультиплицирующим множителем для единичного платежа. Формула сложных процентов является одной из базовых формул в финансовых вычислениях.
Экономический смысл множителя FM1(r, n): он показывает, чему будет равна одна денежная единица (один рубль, один доллар, одна иена и т. п.) через п периодов при заданной процентной ставке r, т. е. он оценивает будущую стоимость одной денежной единицы. Подчеркнем, что при пользовании этой и последующими финансовыми таблицами необходимо следить за соответствием длины периода и процентной ставки. Так, если базисным периодом начисления процентов является квартал, то в расчетах должна использоваться квартальная ставка.
В практических расчетах для наглядной и быстрой оценки эффективности предлагаемой ставки наращения при реализации схемы сложных процентов пользуются приблизительным расчетом времени, необходимого для удвоения инвестированной суммы, известным как правило 72-х. Это правило заключается в
следующем: если r — процентная ставка, выраженная в процентах, то к = 72/r
представляет собой число периодов, за которое исходная сумма приблизительно удвоится. Это правило хорошо срабатывает для небольших значений r (до 20%). Так, если годовая ставка r = 12%, то k = 6 годам. Подчеркнем, что здесь речь идет о периодах начисления процентов и соответствующей данному периоду ставке. Если базисным периодом, т. е. периодом наращения, является половина года, то в расчете должна использоваться полугодовая ставка. Следует также обратить внимание на то, что хотя в большинстве финансовых расчетов процентная ставка берется в долях единицы, в формуле алгоритма правила 72-х ставка взята в процентах.
6.3.2. Области применения схемы простых процентов
На практике многие финансовые операции выполняются в рамках одного года, при этом могут использоваться различные схемы и методы начисления процентов. Рассмотрим часто встречающиеся ситуации, когда активно применяется схема простых процентов.
Краткосрочный кредит. В этом случае денежные средства заемщику предоставляются на срок до одного года и, как правило, с однократным начислением процентов. Как отмечалось выше, в этом случае для кредитора, диктующего чаще всего условия финансового контракта, более выгодна схема простых процентов; при этом в расчетах используют промежуточную процентную ставку, которая равна доле годовой ставки, пропорциональной доле временного интервала в году.
Общий алгоритм наращения некоторой исходной суммы по схеме простых процентов при заданной доходности r (в долях единицы) описывается формулой (6.5). Если п < 1 (это, напомним, и есть ситуация, когда схема простых процентов более предпочтительна по сравнению со схемой сложных процентов), формулу (6.5) можно представить следующим образом:
где PV — величина наращиваемого капитала; FV — величина наращенного капитала; r — годовая процентная ставка в долях единицы;
t — продолжительность финансовой операции в днях (первый и последний дни операции считаются за один день); Т — количество дней в году; f — относительная продолжительность финансовой операции в долях единицы.
Для понимания сути краткосрочной операции наращения капитала, вероятно, наиболее наглядно последнее представление в (6.7), из которого видно, что получаемое по итогам операции наращение рассчитывается умножением исходного капитала
Р на произведение дневной ставки (r/T) — на продолжительность финансовой операции
(t). Заметим в этой связи, что в представлении (6.7) выполнено упоминавшееся в комментарии к формулам (6.1) и (6.2) правило о соответствии ставки и периода; продолжительность операции оценена в днях, потому сделан переход к дневной ставке. Определяя продолжительность финансовой операции, принято день выдачи и день погашения кредита считать за один день. В зависимости от того, чему берется равной продолжительность года (квартала, месяца), размер промежуточной процентной ставки может быть различным. Возможны два варианта:
• точный процент, определяемый, исходя из точного числа дней в году (365 или 366), в квартале (от 89 до 92), в месяце (от 28 до 31);
• обыкновенный процент, определяемый, исходя из приближенного числа дней в году, квартале и месяце (соответственно 360, 90, 30).
При определении продолжительности периода, на который выдан кредит, также возможны два варианта:
• принимается в расчет точное число дней пользования кредитом (расчет ведется по дням);
• принимается в расчет приблизительное число дней пользования кредитом (исходя из продолжительности месяца в 30 дней).
Для упрощения процедуры расчета точного числа дней пользуются специальными таблицами (одна для обычного года, другая — для високосного), в которых все дни в году последовательно пронумерованы. Продолжительность финансовой операции определяется вычитанием номера первого дня из номера последнего дня (см. Приложение 4).
В том случае, когда в расчетах используется точный процент, берется и точная величина продолжительности финансовой операции; при использовании обыкновенного процента может применяться как точное, так и приближенное число дней пользования кредитом. Таким образом, расчет может выполняться одним из трех способов:
• обыкновенный процент с точным числом дней (применяется в Бельгии, Франции);
• обыкновенный процент с приближенным числом дней (Германия, Дания, Швеция);
• точный процент с точным числом дней (Великобритания, США).
В практическом смысле эффект от выбора того или иного способа зависит от значительности суммы, фигурирующей в финансовой операции. Но и так ясно, что использование обыкновенных процентов с точным числом дней ссуды, как правило, дает больший результат, чем применение обыкновенных процентов с приближенным числом дней пользования кредитом.
Пример
Предоставлен кредит в размере 7 млн руб. 10 февраля с погашением 10 июня под 20% годовых (год невисокосный). Рассчитать разными способами сумму к погашению (FV).
Решение
Величина уплачиваемых за пользование кредитом процентов зависит от числа дней, которое берется в расчет. Точное число дней определяется по таблице с номерами дней года (см. Приложение 4): 161 — 41 = 120 дн. Приближенное число дней кредита рассчитывается следующим образом: 18 дней февраля (59 — 41)+ 90 дн. (по 30 дней каждого из трех месяцев: март, апрель, май) + 10 дней июня - 118 дн.
Возможные варианты возврата долга определяются с помощью формулы (6.7):
|
|
|
2. В расчет принимаются обыкновенные проценты и точное число дней пользования кредитом. |
|
|
|
3. В расчет принимаются обыкновенные проценты и приближенное число дней пользования кредитом. |
|
|
1. В расчет принимаются точные проценты и точное число дней пользования кредитом.
Учет векселя банком. Это еще одна весьма распространенная операция краткосрочного характера, для оценки которой используется схема простых процентов, с тем лишь отличием, что в расчете применяется дисконтная ставка. Одна из причин состоит в том, что векселя могут оформляться по-разному, однако чаше всего
банку приходится иметь дело с суммой к погашению, т. е. с величиной FV. Схема действий в этом случае может быть следующей.
Владелец векселя на сумму FV предъявляет его банку, который соглашается учесть его, т. е. купить, удерживая в свою пользу часть вексельной суммы, которая нередко также называется дисконтом. В этом случае банк предлагает владельцу сумму (PV), исчисляемую, исходя из объявленной банком ставки дисконтирования (d). Очевидно, что чем выше значение дисконтной ставки, тем большую сумму удерживает банк в свою пользу. Расчет выдаваемой банком суммы ведется с помощью одного из представлений формулы (6.8), являющейся следствием формулы (6.4):
где FV — сумма по векселю;
PV — предлагаемая банком сумма в обмен на учитываемый вексель;
d — годовая учетная ставка в долях единицы;
t — продолжительность финансовой операции в днях (число дней, оставшихся
до по
гашения векселя с момента его учета банком);
T — количество дней в году;
f — относительная продолжительность финансовой операции в долях единицы.
Пример
Векселедержатель предъявил для учета вексель на сумму 50 тыс. руб. со сроком погашения 28.09.2006 г. Вексель предъявлен 13.09.2006 г. Банк согласился учесть вексель по учетной ставке 30% годовых. Определить сумму, которую векселедержатель получит от банка.
Величина этой суммы рассчитывается по формуле (6.8) и составит
Разность между FV (номинальной величиной векселя) и PV (дисконтированной величиной векселя) представляет собой комиссионные, удерживаемые банком в свою пользу за предоставленную услугу; в данном примере она составила 625 руб.
Можно выполнить и более глубокий факторный анализ. Дело в том, что доход банка при учете векселя складывается из двух частей: процентов по векселю, причитающихся за время, оставшееся до момента погашения векселя, и собственно комиссионных за предоставленную услугу. Как уже упоминалось выше, теоретическая дисконтная ставка меньше процентной. Однако на практике, устанавливая дисконтную ставку, банк, как правило, повышает ее в зависимости от условий, на которых выдан вексель, риска, связанного с его погашением, комиссионных, которые банк считает целесообразным получить за оказанную услугу, и т. п. Поскольку величина процентов по векселю за период с момента учета до момента погашения предопределена, банк может варьировать лишь размером комиссионных путем изменения учетной ставки. Прежде чем рассмотреть пример, изложим логику факторного анализа дохода банка в этом случае.
Введем следующие обозначения: PV — стоимость векселя в момент его оформления; Р| — теоретическая стоимость векселя в момент учета; Рг — предлагаемая банком сумма в обмен на вексель; FV — стоимость векселя к погашению; Δo — общий доход банка от операции.
Из формул (6.7) и (6.8) видно, что функции PV = f(t) и FV = g(t) являются линейными относительно t, т. е. процессы перехода PV →FV и FV→PV, а также структура факторного разложения при учете векселей могут быть представлены графически (рис. 6.3).
Рис. 6.3. Логика факторного разложения дохода банка при учета векселя
Скорость наращения стоимости векселя, т. е. наклон прямой {PV, FV}, зависит от уровня процентной ставки r, согласованной между векселедателем и векселедержателем. По мере приближения срока погашения векселя его теоретическая стоимость постоянно возрастает на сумму причитающихся за истекший период процентов, таким образом, в момент учета векселя она составит величину Р\, которую можно рассчитать по формуле (6.7). Таким образом, учитывая вексель в банке, его владелец теоретически мог бы рассчитывать на сумму Р1, а факт ее получения означал бы, что с момента учета векселя кредитором векселедателя фактически становится банк Вряд ли такое положение устраивает менеджеров банка, поскольку не очевидно, что заложенная в векселе доходность в размере ставки r будет привлекательна для банка. Именно поэтому предлагаемая банком сумма Р2, которая рассчитывается по формуле (6.8), исходя из стоимости векселя к погашению и предлагаемой банком дисконтной ставки d, в принципе не связанной со ставкой r, в подавляюшем большинстве случаев меньше теоретической стоимости векселя. Разность Δc=(P1-P2) представляет собой сумму комиссионных, получаемых банком за услугу, оказываемую векселедержателю. С позиции последнего, эта сумма представляет собой затраты, т е плату за возможность более быстрого получения наличных Помимо комиссионных банк получает проценты за период с момента учета до момента погашения векселя, сумма которых рассчитывается по формуле Δp= FV — Р1. Таким образом, общий доход банка от операции составит Δa = Δp +Δc = FV — Р2 Отметим, что реальные потери векселедержателя составляют величину Δc = Р1 - Р2, а не сумму (FV — Р2), как это кажется на первый взгляд Дело в том, что с момента учета векселя кредитором становится банк, поэтому ему и передаются проценты за оставшийся период.
Пример
Предприятие продало товар на условиях потребительского кредита с оформлением простого векселя- номинальная стоимость 150 тыс руб, срок векселя — 60 дней, ставка процента за предоставленный кредит — 15% годовых. Через 45 дней с момента оформления векселя предприятие решило учесть вексель в банке, предложенная банком дисконтная ставка составляет (1) 20%, (2) 25% годовых Рассчитать суммы, получаемые предприятием и банком, если используются обыкновенные проценты с точным числом дней.
Решение
Будущая стоимость векселя FV к моменту его погашения, рассчитанная по формуле (6.7), составит
|
|
|
|
|
|
Предлагаемая банком сумма Р2 рассчитывается по формуле (6.8):
|
|
Таким образом, банк получает от операции проценты по векселю за оставшиеся 15 дней в размере 937 руб. (153,75 - 152,813), величина которых не зависит от уровня дисконтной ставки, и комиссионные за оказанную услугу в размере
в случае (1) - 344 руб. (152,813 - 152,469);
в случае (2) - 665 руб. (152,813 - 152,148).
Дисконтирование, осуществляемое по формуле (6.8), называется банковским дисконтированием, в отличие от математического дисконтирования, являющегося процессом, обратным к наращению первоначального капитала. При математическом дисконтировании решается задача нахождения такой величины капитала Р, которая через п лет при наращении по схеме простых процентов по процентной ставке r будет равна Rn. Решая (6.5) относительно Р, получим
|
|
где п — необязательно целое число лет,
(6.9)
,
Пример
Через полгола после заключения финансового соглашения о получении кредита должник обязан заплатить 2,14 млн руб. Какова первоначальная величина кредита, если он выдан под 14% годовых и начисляются обыкновенные проценты с приближенным числом дней?
Решение
Обозначая Rn = 2,14, n = 180/360 = 0,5 r = 0,14 и используя математическое дис-
квитирование, получим
