6.3.4. Начисление процентов за дробное число лет
Довольно обыденными являются финансовые контракты, заключаемые на период, отличающийся от целого числа лет. В этом случае проценты могут начисляться одним из двух методов:
• по схеме сложных процентов
|
|
(6.11)
• по смешанной схеме (используется схема сложных процентов для целого числа лет и схема простых процентов — для дробной части года)
FVn=P(1+r)n (1+fr) (6.12)
гае w — целое число лет; f — дробная часть года.
Поскольку f<1 то (1+fr)>(1 +r)f , следовательно, наращенная сумма будет больше при использовании смешанной схемы. Можно показать, что при малых r наибольшая величина разности между (6.12) и (6.11) достигается при f ≈ 0,5.
Прнмер
Банк предоставил кредит в размере 10 млн руб. на 30 мес. под 30% годовых на условиях ежегодного начисления процентов. Какую сумму предстоит вернуть банку по истечении срока?
Решение
По формуле (6.11): FVn= 10*(1+0,3)2+0,5 =19,269 млн руб.
По формуле (6.12): FVn = 10*(1+0,3)2*(1+0,3*0,5)= 19,435 млн руб. Таким образом, смешанная схема начисления процентов более выгодна для банка.
Возможны финансовые контракты, в которых начисление процентов осуществляется по внутригодовым подпериодам, а продолжительность общего периода действия контракта не равна целому числу подпериодов. В этом случае также возможно использование двух схем наращения исходной суммы Р:
|
|
1) схема сложных процентов
(6.13)
|
|
2) смешанная схема
(6.14)
где w - целое число подпериодов в и годах; f — дробная часть подпериода; т — количество начислений в году; r — годовая ставка.
Обращаем внимание читателя на то, что в приведенных алгоритмах показатели ω и f имеют разный смысл. Так в формуле (6.12) w означает целое число лет в п годах, а f— дробную часть года и поэтому п = ω+f. Однако в формуле (6.14) ω означает целое число подпериодов в п годах, а f— дробную часть подпериода и
поэтому п =(ω+f)/m. Иными словами, при пользовании этими формулами надо от-
давать себе отчет в том, о каком базисном периоде идет речь.
Пример
Банк* предоставил ссуду в размере 120 тыс. руб. на 27 мес. (т.е. 9 кварталов, или 2,25 года) под 16% годовых на условиях единовременного возврата основной суммы долга и начисленных процентов. Проанализировать, какую сумму предстоит вернуть банку при разных вариантах и схемах начисления процентов: (1) годовое; (2) полугодовое; (3) квартальное,
Решение
(1) Годовое начисление процентов
Продолжительность ссуды не является кратной продолжительности базисного периода, т. е. года. Поэтому возможно применение любой из схем, характеризуемых формулами (6.11) и (6.12) и значениями соответствующих параметров: и = 2,25 w = 2; f = 0,25; r = 0,16
• При реализации схемы сложных процентов
FVn = Р(1 + r)n+f = 120 * (l + 0,16)2,25 = 167,58 тыс. руб.
• При реализации смешанной схемы
FVn =P(l+r)n(1+fr) = 120- (l+ 0,16)2 • (l + 0,25• 0.16) = 167,93 тыс. руб.
(2) Полугодовое начисление процентов
Начисление процентов осуществляется по внутригодовым подпериодам, а продолжительность общего периода действия контракта не равна целому числу подпериодов. Следовательно, надо воспользоваться формулами (6.13) и (6.14), когда параметры формул имеют следующие значения; m = 2; ω = 4; f = mn—ω = = 2-2,25-4 = 0,5; r = 0,16.
|
|
|
|
• при реализации смешанной схемы
(3) Квартальное начисление процентов
В этом случае т = 2; w = 9; f = 0, т. е. продолжительность ссуды равна целому числу подпериодов. Поэтому формулы (6.13) и (6.14) дают один результат:
FVn = 120*(1 + 0,04)9 = 170,8 тыс. руб. Здесь фактически пользуемся обычной формулой наращения сложными процентами (6.6), в которой п = 9, а r=0,16/4=0,04
4