17.8.2. Методика построения безрискового эквивалентного денежного потока
В основу данной методики, являющейся обобщением предыдущей, заложены некоторые концептуальные идеи, развитые в рамках теории полезности и теории игр. В частности, крупнейшие специалисты в этой сфере научных исследований Дж. фон Нейман (John von Neumann, 1903—1957) и О. Моргенштерн (Oscar Morgenstern, 1902—1978) показали, что принятие решений, в том числе в области инвестиций, с помощью критериев, основанных только на монетарных оценках, не является безусловно оптимальным. Более предпочтительно использование специальных критериев, учитывающих ожидаемую полезность того или иного события. Для того чтобы получить представление о концепции полезности, рассмотрим следующую ситуацию.
Инвестору требуется сделать выбор одного из двух альтернативных вариантов получения дохода (млн руб.).
|
Проект IPA |
Проект IPB |
||
|
Годовой доход |
Вероятность |
Годовой доход |
Вероятность |
|
20 |
0,5 |
- |
0.5 |
|
40 |
0,5 |
60 |
0,5 |
Оба варианта имеют одинаковый средний ожидаемый годовой доход.
Проект IPA: E(RA) = 20- 0.5 + 40- 0,5 = 30 млн руб.
Проект IPB; Е(RВ) =0*0,5 + 60* 0,5 = 30 млн руб.
Если с позиции ожидаемого дохода проекты равноправны, то с позиции риска между ними есть существенное различие: используя один из ранее рассмотренных критериев оценки риска (например, размах вариации), можно сделать вывод, что проект IPB более рисков, т. е. при равном ожидаемом доходе он менее предпочтителен. Это можно продемонстрировать и другим способом — с помощью аппарата теории полезности.
Предположим, что некий инвестор, пользуясь количественными критериями, или на основе интуиции предварительно отобрал проект IPA как более предпочтительный и теперь хочет отказаться от IPA и принять IPB. Очевидно, что если будет сделан переход от IPA к IPB, то при неблагоприятном развитии событий инвестор получит нулевой доход, т. е. на 20 млн руб. меньше, чем при реализации проекта А; наоборот, в удачный год его доход может быть на 20 млн руб. больше. Итак, с вероятностью 50% инвестор может выиграть дополнительно 20 млн руб., но с той же вероятностью он может проиграть ту же сумму. Так стоит ли делать переход от IPA к IPB? В рамках теории полезности показано, что каждому событию свойственна определенная полезность. Переход от IPA к IPB. как правило, не делается, поскольку полезность получения дополнительного дохода меньше полезности потери той же суммы.
Логика здесь очевидна. Предположим, что человек, едва сводивший концы с концами, вдруг получил 1000 долл. Эта сумма будет иметь для него исключительную полезность. Получение второй тысячи уже будет иметь меньшую полезность,
так как основные (базовые) потребности человека были удовлетворены за счет первой тысячи. Понятно, что и возможность потери первой тысячи, в сравнении с равновеликой возможностью приобретения второй тысячи, имеет для индивидуума совершенно разные последствия, а следовательно, и значение. Рассуждая далее по той же схеме, можно сделать вывод, что с каждым новым приростом дохода по лезность этого события будет уменьшаться. Таким образом, по мере роста потребления дополнительная полезность его прироста снижается.
Эта концепция убывающей предельной полезности может быть продемонстрирована в приложении к нашему примеру следующим образом. Предположим, что предельная полезность получения первых 10 млн руб. составляет 1; вторых 10 млн руб. — 0,9, третьих 10 млн руб. — 0,79 и т. д. Иными словами, темпы снижения образуют арифметическую прогрессию
ak =a1 +(k-i)d, где а1 = 0,1; d = 0,01
Тогда изменение дохода инвестора в терминах полезности будет иметь следующий вид.
|
Доход |
Предельная полезность |
Полезность |
|
0 |
0 |
0 |
|
10 |
1 |
1 |
|
20 |
0,9 |
1.9 |
|
30 |
0,79 |
2,69 |
|
40 |
0,67 |
3,36 |
|
50 |
0,54 |
3,90 |
|
60 |
0.40 |
4,30 |
Проекты IPa и IPB в терминах полезности имеют следующие характеристики.
|
Статья |
Проект IPA |
Проект IPB |
||||
|
Годовой ДОХОД |
Вероятность |
Полезность |
Годовой доход |
Вероятность |
Полезность |
|
|
|
20 |
0,5 |
1,9 |
|
0,5 |
0 |
|
|
40 |
0,5 |
3,36 |
60 |
0,5 |
4,30 |
|
Ожидаемый средний доход |
30 |
|
|
30 |
|
|
|
Ожидаемая полезность |
|
|
2,63 |
_______ |
|
2,15 |
Примечание. Ожидаемые значения дохода и полезности представляют собой математические ожидания данных показателей, т. е. они найдены по формуле средней арифметической взвешенной, в которой весами выступают значения вероятностей.
Таким образом, если по критерию «ожидаемый средний доход» нельзя было сделать выбор между проектами, то критерий «ожидаемая полезность» отдает явное предпочтение проекту IPA. Это в точности согласуется с ранее сделанным выводом об относительно большей рисковости проекта IPB.
Логика построения безрисковых эквивалентов в значительной степени базируется на рассмотренных идеях теории полезности. Рассматривая поэлементно денежный поток рискового проекта, инвестор пытается оценить, какая гарантированная (т. е. безрисковая) сумма денег потребуется ему, чтобы быть индифферентным к выбору между этой суммой и ожидаемой (т. е. рисковой) величиной k-ro элемента потока.
Чтобы почувствовать эту логику, приведем классический пример из теории игр. Вам предложены на выбор две возможности:
(1) предлагается
подбросить монету; если выпадет орел, вы получите
1 млн долл., если выпадет решка, вы не получите ничего;
(2) не подбрасывая монету, вы можете получить 150 тыс. долл.
Очевидно, что ожидаемый доход в случае (1) равен 500 тыс. долл., в случае
(2) гарантированный доход равен 150 тыс. долл.
Теперь задайте себе вопрос, какая гарантированная сумма сделает вас индифферентным к выбору между этой суммой денег и рисковым ожидаемым доходом в 500 тыс. долл. Можно иначе сформулировать вопрос: какую сумму вы готовы заплатить за возможность сыграть в игру с подбрасыванием монеты?
Для подавляющего большинства людей эта сумма, являющаяся безрисковым эквивалентом, будет гораздо меньше 500 тыс. долл. Поскольку люди по-разному относятся к риску, величина безрискового эквивалента является субъективной и переменной, причем чем меньше ее значение по сравнению с исходной суммой, тем большее неприятие риска демонстрирует лицо, принимающее это решение. Как было показано в предыдущей главе, графически отношение к риску выражается с помощью кривых безразличия (индифферентности).
Одно из представлений кривой безразличия, описывающей зависимость между ожидаемым доходом и соответствующим уровнем риска, измеряемым р-коэффициентом, приведено на рис. 17.15.
Рис. 17.15. График кривой безразличия
Одна из интерпретаций приведенного графика может быть такой. Необходимо сделать выбор из трех инвестиционных проектов с равными капиталовложениями, один из которых (IPf) безрисковый (р = 0) и два рисковых (IPС и IP0). Проект IPF генерирует ежегодный доход в 10 млн руб.; проект IPС генерирует ожидаемый ежегодный доход в 20 млн руб. с некоторой степенью риска βC для проекта IP0 эти показатели соответственно равны 30 млн руб. и βD. Кривая безразличия данного инвестора показывает, что для него одинаково приемлем любой вариант — получение 10 млн руб. наверняка, получение 20 млн руб. с риском βC, получение 30 млн руб. с риском βD. Таким образом, 10 млн руб. будут служить безрисковым эквивалентом 20 млн руб. в случае с проектом IPC и 30 млн руб. в случае с проектом IPD.
Демонстрируя логику применения кривой безразличия, рассмотрим следующую ситуацию.
Предположим, что инвестор имеет опцион на покупку контракта, генерирующего с равной вероятностью р = 1/2 доход в 5 тыс. руб. или в 7 тыс. руб.; цена контракта 6 тыс. руб. Ожидаемый доход равен 6 тыс. руб., т. е. совпадает с ценой
|
|
|
контракта. Поскольку доход жестко не предопределен, данный контракт является рисковым. Предположим далее, что отношение инвестора к риску описывается кривой безразличия, приведенной на рис. 17.16. |
Рис. 17.16. Сравнительная характеристика полезности дохода и полезности инвестиции
Как легко видеть из графика, точка L, являющаяся пересечением перпендикуляра, восстановленного в точке 6 тыс. руб., с хордой АВ, имеет ординату, численно равную ожидаемой полезности дохода в 6 тыс. руб., которая так же, как и ожидаемый доход, находится по формуле средней арифметической взвешенной.
Из графика следует, что если инвестор согласится с покупкой контракта, то ожидаемая полезность инвестиции в сумме б тыс. руб. (UM) должна характеризоваться ординатой точки М. находящейся на пересечении того же перпендикуляра и кривой безразличия. Поскольку UM > UL, т.е. полезность ожидаемого дохода меньше полезности требуемой для получения этого дохода инвестиции, приобретение данного контракта невыгодно. Возникает резонный вопрос: за какую сумму инвестор согласится на покупку контракта? Ответ очевиден: инвестиция должна быть такой, чтобы ее полезность, как минимум, совпадала с полезностью дохода. Из графика видно, что величина инвестиции в этом случае численно равна Р. являющейся абсциссой точки N. Величина Р носит название безрискового эквивалента рискового ожидаемого дохода, равного 6 тыс, руб.
Очевидно, что величина безрискового эквивалента зависит от двух факторов: степени выпуклости кривой безразличия и рисковости ожидаемого дохода. Так, если в нашем примере с опционом возможные значения дохода равны 4,8 тыс. руб. и 7,2 тыс. руб., т. е. при не изменившейся величине ожидаемого дохода риск его получения увеличился (на графике этой ситуации соответствует прямая CD), безрисковый эквивалент 6000 руб. будет еще меньше и составит величину Р'.
Пример
Необходимо оценить проект IPA при следующих условиях: объем капиталовложений 30 тыс. долл., стоимость источника финансирования 10%, годовой доход в течение 8 лет составит 5 тыс. долл. с вероятностью 1/3 и 8 тыс. долл. с вероятностью 2/3-
Решение
Предположим, что нам удалось построить кривую безразличия данного инвестора (рис. 17.17). Тогда ожидаемым доходам в 5 и 8 тыс. долл. соответствуют
|
|
|
Рис. 17.17. Нахождение безрискового эквивалента графическим методом Как видно из условия, ожидаемый годовой доход будет равен |
|
|
определенные значения полезности — соответственно Ua и Ub (в частности, Ua представляет собой ординату точки Л, лежашей на пересечении кривой безразличия и перпендикуляра, восстановленного к оси абсцисс в точке 5 тыс. долл.).
Поскольку 7 тыс. долл. — это рисковая сумма, можно найти ее безрисковый эквивалент, который численно равен абсциссе точки M, являющейся точкой пересечения кривой безразличия и прямой, исходящей из N и параллельной оси абсцисс.
Предположим, что безрисковый эквивалент ожидаемого дохода в 7 тыс. долл. равен 6,2 тыс. долл. Поскольку ожидаемые поступления представляют собой срочный аннуитет, для оценки проекта можно воспользоваться дисконтирующим множителем FM4 (r%, n).
Если риск не учитывается, то значение NPV проекта равно
NPV = 7 • FM4 (10%, 8) - 30 = 7 • 5,335 - 30 = 7,35 тыс. долл.,
т. е. проект является приемлемым.
Если риск учитывается, то в расчет принимается безрисковый эквивалент, a NPV будет иметь следующее значение:
NPV =62*FM4 (l0%, 8) -30 = 6,2*5,335-30 = 3,08 тыс. долл.
Разница между двумя значениями NPV (4,27 тыс. долл.) представляет собой стоимостную оценку риска; например, в пределах этой суммы можно застраховать данный проект.
Величина безрискового эквивалента зависит от ряда факторов и может быть существенно ниже исходной суммы дохода. Таким образом, не исключена ситуация, когда проект, приемлемый без учета риска, становится неприемлемым, если риск принимается во внимание. Так, если допустить, что в нашем примере безрисковый эквивалент равен 5,6 тыс. долл., то NPV = —0,12 тыс. долл., т. е. проект следует отвергнуть.
Как же на практике находят безрисковые эквиваленты? Например, можно попытаться оценить вероятность появления денежного поступления для каждого года и каждого проекта. После этого составляют новые проекты на основе откор-
ректированных с помощью понижающих коэффициентов денежных потоков и для них рассчитывают NPV (понижающий коэффициент представляет собой вероятность появления рассматриваемого денежного поступления). Откорректированный поток представляет собой поток из безрисковых эквивалентов. Предпочтение отдается проекту, откорректированный денежный поток которого имеет наибольший NPV; этот проект считается менее рисковым.
Пример
Провести анализ взаимоисключающих проектов IPA и IPB, имеющих одинаковую продолжительность реализации (4 года) и стоимость капитала (10%). Требуемые инвестиции составляют: для проекта IPA — 42 млн руб., для проекта IPB — 35 млн руб.
Решение
Денежные потоки и результаты расчета приведены в табл, 17.11.
Таблица 17.11
Анализ проектов в условиях риска
(млн руб.)
|
Год |
Проект IPA |
Проект IPB |
||||
|
Денежный поток |
Понижающий коэффициент |
Откорректированный поток (гр. 2 * гр. 3) |
Денежный поток |
Понижающий коэффициент |
Откорректированный поток (гр. 5 * гр. 6) |
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
в |
7 |
|
1-й |
29,0 |
0.90 |
18,0 |
15,0 |
0,90 |
13,5 |
|
2-й |
20,0 |
0,90 |
18,0 |
20,0 |
0,75 |
15,0 |
|
3-й |
15.0 |
0,80 |
12,0 |
20,0 |
0,75 |
15,0 |
|
4-й |
15,0 |
0,75 |
10,5 |
10,0 |
0,60 |
6,0 |
|
1С |
-42,0 |
|
-42,0 |
-35,0 |
|
-35,0 |
|
NPV |
20,5 |
|
10,5 |
22,9 |
|
9,4 |
Комментарии:
i. Понижающие коэффициенты определяются экспертным путем. Так, для проекта 1Р.| поступление денежных средств в первом году составит 20,0 млн руб. с вероятностью 0,90, поэтому в зачет для откорректированного потока идет 18,0 млн руб. (20,0 ■ 050).
2. Сравнение двух исходных потоков показывает, что проект IРВ является более предпочтительным, поскольку имеет большее значение NPV. Однако если учесть риск, ассоциируемый с каждым из альтернативных проектов, то суждение изменится. Следует предпочесть проект IP.,, который считается менее рисковым.