6.7.3. Метод депозитной книжки
Можно дать иную интерпретацию расчета дисконтированной стоимости аннуитета с помошью метода депозитной книжки, логика которого такова. Сумма, положенная на депозит, приносит доход в виде процентов. При снятии с депозита некоторой суммы базовая величина, с которой начисляются проценты, уменьшается. Как раз эта ситуация имеет место в случае с аннуитетом. Текущая стоимость аннуитета — это величина депозита с обшей суммой причитающихся процентов, ежегодно уменьшающаяся на равные суммы. Эта сумма годового платежа включает начисленные за очередной период проценты, а также некоторую часть основной суммы долга. Таким образом, погашение исходного долга осуществляется постепенно, в течение всего срока действия аннуитета. Структура годового платежа постоянно меняется. В начальные периоды в нем преобладают начисленные за очередной период проценты; с течением времени доля процентных платежей постоянно уменьшается и повышается доля погашаемой части основного долга. Логику и счетные процедуры метода рассмотрим на примере.
Пример
В банке получена ссуда на 5 лет в сумме 20 000 долл. под 13% годовых, начисляемых по схеме сложных процентов на непогашенный остаток. Возвращать надо равными суммами в конце каждого года. Требуется определить величину годового платежа.
Решение
Если обозначить за А величину искомого годового платежа, то данный финансовый контракт можно представить в виде следующей схемы (рис. 6.13).
Рис. б.13. Схема к методу депозитной книжки
Заметим прежде всего, что на рис. 6.13 фактически изображены два денежных потока: первый связан с оттоком денежных средств и состоит из одного элемента, равного величине инвестиции в сумме 20 тыс. долл.; второй связан с притоками денежных средств и представлен аннуитетом постнумерандо (рассуждения приведены с позиции банка). Иными словами, стрелка, демонстрирующая отток денежных средств, не является элементом денежного потока, демонстрирующего поступления, т. е. сформулированное выше правило о совпадении числа стрелок н числа базисных интервалов в контексте одного потока здесь выполнено.
Для лучшего понимания логики метода депозитной книжки целесообразно рассуждать с позиции кредитора. Для банка данный контракт представляет собой инвестицию в размере 20 000 долл., т. е. отток денежных средств, что и показано на схеме. В дальнейшем в течение 5 лет банк будет ежегодно получать в конце года сумму А, причем каждый годовой платеж будет включать проценты за истекший год и часть основной суммы долга. Так, поскольку в течение первого года заемщик пользовался кредитом в размере 20 000 долл., то платеж, который будет сделан в конце этого года, состоит из двух частей: процентов за год в сумме 2600 долл. (13% от 20 000 долл.) и погашаемой части долга в сумме (А - 2600) долл. В следующем году расчет будет повторен при условии, что размер кредита, которым пользуется заемщик, составит уже меньшую сумму по сравнению с первым годом, а именно (20000 — А + 2600) долл. Отсюда видно, что с течением времени сумма уплачиваемых процентов снижается, а доля платежа в счет погашения долга возрастает. Из схемы на рис. 6.13 видно, что мы имеем дело с аннуитетом постнумерандо, о котором известна его текущая стоимость, процентная ставка н продолжительность действия. Поэтому для нахождения величины годового платежа А можно воспользоваться формулой (6.35):
20000 = А • FM4(t3%,5) = А * 3,517, т. е. А = 5687 долл.
Динамика платежей показана в таблице. Отметим, что данные в ходе вычислений округлялись, поэтому величина процентов в последней строке найдена балансовым методом.
Метод депозитной книжки
|
Год |
Остаток кредита на начало года |
Сумма годового платежа |
В том числе |
Остаток кредита на конец года |
|
|
проценты за год |
погашенная часть долга |
||||
|
1 |
20 000 |
5687 |
2600 |
3087 |
16913 |
|
2 |
16 913 |
5687 |
2199 |
3488 |
13 425 |
|
3 |
13 425 |
5687 |
1745 |
3942 |
9483 |
|
4 |
9483 |
5687 |
1233 |
4454 |
5029 |
|
5 |
5029 |
5687 |
658 |
5029 |
0 |
Данная таблица позволяет ответить на целый ряд дополнительных вопросов, представляющих определенный интерес для прогнозирования денежных потоков. В частности, можно рассчитать общую сумму процентных платежей, величину процентного платежа в k-м периоде, долю кредита, погашенную в первые k лет, и т. п.