6.7. Оценка аннуитетов
Одним из ключевых понятий в финансовых и коммерческих расчетах является понятие аннуитета. Логика, заложенная в схему аннуитетных платежей, широко используется при оценке долговых и долевых ценных бумаг, в анализе инвестиционных проектов, а также в анализе аренды.
6.7.1. Оценка срочного аннуитета
Аннуитет (иногда в литературе используются термины «рента», «финансовая рента*) представляет собой частный случай денежного потока. Известны два подхода к его определению. Согласно первому подходу аннуитет представляет собой однонаправленный денежный поток, элементы которого имеют место через равные временные интервалы. Второй подход накладывает дополнительное ограничение: элементы денежного потока одинаковы по величине. В дальнейшем изложении материала мы будем придерживаться именно второго подхода.
Любой элемент денежного потока называется членом аннуитета (членом ренты), а величина постоянного временного интервала между двумя его последовательными элементами называется периодом аннуитета (периодом ренты). Если каждый элемент аннуитета имеет место в конце соответствующего периода, аннуитет называется аннуитетом постнумерандо (Ordinary Annuity); если в начале периода — аннуитетом пренумерандо (Annuity Due). Аннуитет, все элементы которого равны между собой, называется постоянным; если равенства нет. аннуитет носит название переменного.
Пример аннуитета пренумерандо: накопление денег на банковском счете, когда вклады делаются, например, в начале каждого месяца. Пример аннуитета постнумерандо: регулярное получение процентов по ценной бумаге (по вкладу) по итогам очередного месяца.
Если число равных временных интервалов ограничено, аннуитет называется срочным; в противном случае аннуитет носит название бессрочного. Для срочного аннуитета: CF1 = CF2 = ... = CFn = А. Графическое представление срочного аннуитета пост- и пренумерандо приведено на рис. 6.12. Вновь обращаем внимание читателя на то, что в обоих случаях финансовая операция, описываемая аннуитетом, начинается в точке 0 и заканчивается в точке п (грубо говоря, делая графические построения и проводя расчеты, всегда надо помнить о нехитром правиле: число стрелок и количество базисных интервалов должно совпадать).
Примером срочного аннуитета постнумерандо могут служить регулярно поступающие рентные платежи за пользование сданным в аренду земельным участком в случае, если договором предусматривается регулярная оплата аренды по истечении очередного периода. В качестве срочного аннуитета пренумерандо выступает, например, схема периодических денежных вкладов на банковский счет в начале каждого месяца с целью накопления суммы для крупной покупки.
Исторически вначале рассматривались ежегодные денежные поступления (базисный период принимался равным одному году), что и послужило основой для поименования потока аннуитетом («год» на латинском языке — anno). В дальнейшем в качестве периода стал выступать любой промежуток времени при сохранении прежнего названия.
а) Аннуитет пренумерандо (каждый элемент привязан к началу соответствующего базисного интервала)
|
|
6) Аннуитет постнумерандо (каждый элемент привязан к концу соответствующего базисного интервала)
|
|
Рис. 6.12. Виды срочных аннуитетов
Как и в случае с нетипизированным денежным потоком в отношении аннуитетов имеют место прямая и обратная задача Специфика аннуитета (равенство денежных поступлений) позволяет вывести стандартизованные формулы, существенно упрощающие счетные процедуры Логика рассуждений точно такова, как и в разд 6 6
Будущая стоимость аннуитета постнумерандо (т е денежного потока постну-мерандо с равными элементами) представляет собой сумму наращенные элементов потока, исчисляемую в предположении что (а) все элементы одинаковы, (б) каждый элемент потока начинается в конце соответствующего базисного интервала и (в) наращение осуществляется по схеме сложных процентов с использованием заданной процентной ставки r
Для демонстрации логики расчета можно воспользоваться графиком на рис 6 8 в предположении, что CFk = А = const, а горизонт планирования равен п
|
|
|
|
|
|
|
Итак, |
Вывод формулы (6.31) очевиден. Действительно,
FM3(r,n) = (l + r)n-1 +(l + r)n-2 + ... +(l + r) + 1
(6.30) (6.31)
(6.32)
Домножив обе части уравнения (6.32) на (1 + r), получим
FM3(r,n)(1 + r) = (1+ r)n +(1+ r)n-1 + ... +(1 + r)2 +(1 + r). (6.33) Вычтя из уравнения (6.33) уравнение (6.32), получим
FM3(r,n)(1+ r) - FM3(r,n) = (l + r)n - 1,
т. е. FM3(r,n)r = {l + r)n -1
Отсюда и следует формула (6.31).
Экономический смысл FM3(r, n), называемого мультиплицирующим множителем для аннуитета, заключается в следующем. Он показывает, чему будет равна суммарная величина срочного аннуитета в одну денежную единицу (например, один рубль) к концу срока его действия. Предполагается, что проводится лишь начисление денежных сумм, а их изъятие может быть сделано по окончании срока действия аннуитета. Множитель FM3(r, n) часто используется в финансовых вычислениях. Его значения зависят лишь от процентной ставки r и срока п действия аннуитета, причем с увеличением каждого из этих параметров величина FM3(r, n) возрастает. Значения множителя для различных сочетаний сии можно табулировать (см. Приложение 3).
Из (6.30) следует, что FM3(r, n) показывает, во сколько раз наращенная сумма аннуитета больше величины денежного поступления А. В связи с этим множитель FM3(r, n) называют также коэффициентом аккумуляции вкладов.
Заметим, что формула (6.30) охватывает и пограничные случаи. Так, при одном денежном поступлении (п = 1) FM3(r, п) = 1 и FVapst = А. Если r = 0, т.е.
не происходит наращения, из (6.30) получаем FVapst= пА; иными словами, денежные поступления попросту суммируются.
Пример
Вам предлагают слать в аренду участок на 3 года, выбрав один из двух вариантов оплаты аренды: (1) 100 тыс. руб. в конце каждого года; (2) 350 тыс. руб. в конце периода. Какой вариант более предпочтителен, если банк предлагает 20% годовых по вкладам?
Решение
Первый вариант оплаты как раз и представляет собой аннуитет постнумеран-до при n=3 и А = 100 тыс.руб. Имеется возможность ежегодного получения арендного платежа и инвестирования полученных сумм на условиях 20% годовых (например, вложение в банк). К концу периода накопленная сумма может быть рассчитана в соответствии со схемой, аналогичной схеме, представленной на рис. 6.8.
FVapst =AFMЗ(20%.3)=100*3,640 = 364 тыс.руб. Таким образом, расчет показывает, что вариант (1) более выгоден.
Будущая стоимость аннуитета пренумерандо (т. е. денежного потока пренуме-рандо с равными элементами) представляет собой сумму наращенных элементов потока, исчисляемую в предположении, что: (а) все элементы одинаковы, (б) каждый элемент потока начинается в начале соответствующего базисного интервала и (в) наращение осуществляется по схеме сложных процентов с использованием заданной процентной ставки r.
Глава 6. Логика и техника финансовых вычислений
237
Для демонстрации логики расчета можно воспользоваться графиком на рис. 6.10 в предположении, что CFk = А = const. Как было показано в разд. 6.6, значения будущей стоимости потоков пренумерандо и постнумерандо отличаются на множитель (1 + r), т. е. будущая стоимость денежного потока пренумерандо рассчитывается по формуле
FVapst = FVapst(1 + r) = AFM3(r,n)(1 + r). (6.34)
Пример
Ежегодно в начале года в банк делается очередной взнос в размере 10 тыс. руб. Банк платит 20% годовых. Какая сумма будет на счете по истечении 3 лет?
Решение
В данном случае мы имеем дело с аннуитетом пренумерандо, будущую стоимость которого предлагается оценить. В соответствии с формулой (6.34) найдем искомую сумму S:
S = 10* FMЗ(20%,3) * (1 + 0,2) = 10*3,640*1,2 = 43,68 тыс. руб.