Дисконтированная стоимость аннуитета постнумерандо
(Present Value of
Ordinary Annuity) (т. е. денежного потока постнумерандо с равными элементами) представляет собой сумму приведенных к началу финансовой операции элементов потока, исчисляемую в предположении, что: (а) все элементы одинаковы, (б) каждый элемент потока начинается в конце соответствующего базисного интервала и (в) дисконтирование осуществляется по схеме сложных процентов с использованием заданной процентной ставки r.
Для демонстрации логики расчета можно воспользоваться графиком на рис. 6.9 в предположении, что CFk = А = const, а горизонт планирования равен п.
|
|
Итак,
FVapst = A FM4(r, n).
(6.35)
|
|
где
(6.36)
Вывод формулы (6.36) очевиден. Действительно,
|
|
Домножим обе части уравнения (6.37) на (1 + R), тогда получим:
(6.37)
|
|
(6.38)
Вычтя из уравнения (6.38) уравнение (6.37), получим
т.е. FM4(r, n)* r=1-(1 + r)
Отсюда и следует формула (6.36).
Экономический смысл FM4(r,
n), называемого
дисконтирующим множите
лем для аннуитета, заключается в следующем. Он показывает, чему равна, с по
зиции текущего момента (т. е. момента, на который осуществляется дисконтиро
вание), суммарная величина срочного аннуитета в одну денежную единицу (на
пример, один рубль), продолжающихся п равных базисных периодов с
заданной
процентной ставкой r. Множитель FM4(r, n) часто используется в финансовых
вычислениях, и поскольку его значения в общем виде зависят лишь от r и n,
они
табулированы. Благодаря этому существенно упрощаются расчеты (см. Прило
жение 3).
При одном денежном поступлении FM4(r, 1) =1/(1+r) и, следовательно,
РVapst =A/(1+r) Поскольку FM4(0, п) = n, то при r = 0 справедливо PVapst = п * А.
Кстати, отсюда следует очевидное и с финансовой точки зрения утверждение: РVapst = FVapst, при r = 0.
Дисконтирующий множитель FM4(r, n) полезно интерпретировать как величину капитала, поместив который в банк под сложную процентную ставку r, можно обеспечить регулярные выплаты в размере одной денежной единицы в течение п периодов (выплаты проводятся в конце каждого периода).
Дисконтированная стоимость аннуитета пренумерандо (Present Value of Annuity Due) (т.е. денежного потока пренумерандо с равными элементами) представляет собой сумму дисконтированных элементов потока, исчисляемую в предположении, что: (а) все элементы одинаковы, (б) каждый элемент потока начинается в начале соответствующего базисного интервала и (в) дисконтирование осуществляется по схеме сложных процентов с использованием заданной процентной ставки r.
Для демонстрации логики расчета можно воспользоваться графиком на рис. 6.11 в предположении, что CFk = А = const, а горизонт планирования равен п. Вновь вспомним о том, что значения дисконтированной стоимости потоков пренумерандо и постнумерандо отличаются на множитель (1 + r), т. е. дисконтированная стоимость денежного потока пренумерандо рассчитывается по формуле
PVapst = PVapst(l +r) = A FM4(r, n)(1 + r). (6.39)
Общие замечания. Из приведенных в данном разделе формул видно, почему в финансовых таблицах не уточняется, какая схема подразумевается в финансовой сделке — постнумерандо или пренумерандо. Дело в том, что содержание любой базовой финансовой таблицы инвариантно к этому фактору. Однако при применении расчетных формул или финансовых таблиц необходимо строго следить за схемой поступления денежных платежей, поскольку величина будущей или дисконтированной стоимости аннуитета зависит от его вида.
Многие практические задачи могут быть решены разными способами, в зависимости от того, какой денежный поток выделен аналитиком. Рассмотрим пример.
Пример
Вам предложено инвестировать 100 тыс. руб. на срок 5 лет при условии возврата этой суммы частями (ежегодно по 20 тыс. руб.). По истечении 5 лет выплачивается дополнительное вознаграждение в размере 30 тыс. руб. Принимать ли это предложение, если можно безопасно депонировать деньги в банк из расчета 12% годовых?
Решение
Для принятия решения необходимо рассчитать и сравнить две суммы При депонировании денег в банк к концу 5-летнего периода на счете будет сумма
f5 = P(l+r)n = 100 (l+0,12)5= 176,23 тыс руб
В отношении альтернативного варианта, предусматривающего возмещение ' вложенной суммы частями, предполагается, что ежегодные поступления в размере 20 тыс руб можно немедленно пускать в оборот, получая дополнительные доходы Если нет других альтернатив по эффективному использованию этих сумм их можно депонировать в банк Денежный поток в этом случае можно представить двояко
• как срочный аннуитет постнумерандо с А=20, п = 5, r = 20% и единовременное получение суммы 30 тыс руб
• как срочный аннуитет пренумерандо с A=20, n = 4, r =20% и единовременное получение сумм 20 и 30 тыс руб
В первом случае на основании формулы (6 30) имеем
5 = 20 FM3(12%,5) + 30=20 6353+30= 15706 тыс руб
Во втором случае на основании формулы (6 34) имеем
5 = 20 FM3(12%.4) 1,2+20+30 = 20 4,779 1,12+ 50 = 15706 тыс руб
Естественно, что оба варианта привели к одинаковому ответу Таким образом, общая сумма капитала к концу 5-летнего периода будет складываться из доходов от депонирования денег в банке (107 06 тыс руб). возврата доли от участия в венчурном проекте за последний год (20 тыс руб ) и единовременного вознаграждения (30 тыс pуб ) Общая сумма составит следовательно, 157,06 тыс руб Предложение для вас экономически нецелесообразно
6.7.2. Оценка бессрочного аннуитета
Анпунтег называется бессрочным (Perpetual Annuity), если денежные поступления продолжаются довольно длительное время Математически это означает, что п → ∞ Характерным примером бессрочного аннуитета являются консоли — выпускаемые правительствами некоторых стран облигации, по которым проводят регулярные купонные выплаты, но которые не имеют фиксированного срока В западной практике к бессрочным относятся аннуитеты, рассчитанные на 50 лет и более Бессрочный аннуитет также называют вечной рентой
В этом случае прямая задача (определение будущей стоимости аннуитета) не имеет смысла, однако обратная задача (определение дисконтированной стоимости аннуитета) имеет решение Поток платежей в постоянном бессрочном аннуитете при одном денежном поступлении А за период (например, равный году), являющийся базисным для начисления процентов по ставке r, представляет собой
бесконечно
убывающую геометрическую прогрессию с первым членом- и зна
менателем 1/(1+r) Для бессрочного аннуитета постнумерандо, используя формулу
для определения суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии или переходя в (6 36) к пределу при n→ ∞, получим
Отсюда следует, что дисконтированная стоимость бессрочного аннуитета по-стнумеранЬо находится по формуле
|
|
(6.40)
Из формул (6.39) и (6.40) следует, что дисконтированная стоимость бессрочного аннуитета пренумерандо может быть найдена по формуле
|
|
(6.41)
Формула (6.40) показывает, что поток даже с неограниченным числом платежей имеет конечную приведенную стоимость. С финансовой точки зрения это понятно, поскольку деньги, которые поступят через много лет, сейчас мало что стоят (а при высокой инфляции практически ничего не стоят). Эта же ситуация проявляется при сравнении коэффициентов дисконтирования бессрочного аннуитета и аннуитетов большой продолжительности. Рассмотрим значения FMA(r, n) при r = 10%.
Коэффициенты дисконтирования аннуитета
|
Продолжительность (л) аннуитета |
40 |
50 |
60 |
70 |
90 |
∞ |
|
(Значение множителя FM4(10%, n) |
9,7791 |
|9,9148 |
9,9672 |
9,9873 |
9,9981 |
10 |
Из таблицы видно, что при продолжительности аннуитета, превышающей 50 базисных периодов (например, лет), коэффициенты дисконтирования аннуитета незначительно отличаются друг от друга. Заметим также, что с ростом процентной ставки r величина срока, начиная с которого коэффициенты FM4(r, n) перестают существенно отличаться друг от друга, уменьшается (например, при r = 15% такой срок равен уже 40 периодам). Таким образом, при больших сроках аннуитета и большом уровне процентной ставки для определения приведенной стоимости срочного аннуитета можно воспользоваться формулой для определения дисконтированной стоимости бессрочного аннуитета. Полученный приблизительный результат будет не слишком отличаться от точного значения.
Формула (6.40) используется для оценки целесообразности приобретения бессрочного аннуитета, если известен размер денежного поступления за период. В качестве r обычно принимается гарантированная процентная ставка (например, процент, предлагаемый государственным банком).
Пример
Определить дисконтированную (текущую, приведенную) стоимость бессрочного аннуитета постнумерандо с ежегодным поступлением 4,2 тыс руб, если предлагаемый банком процент по срочным вкладам равен 14% годовых.
Решение
По формуле (6,40)
PVa∞pst=4,2/0,14=30 тыс.руб.
Следовательно, если аннуитет предлагается по цене, не превышающей 30 тыс руб., он представляет собой выгодную инвестицию.
Дисконтированная стоимость бессрочного аннуитета пренумерандо определяется с помошью дисконтированной стоимости бессрочного аннуитета постнуме-рандо по формуле (6.41)
PVa∞pst= PVa∞pst(1 + r) = PVa∞pst +A,
т.е. мы получили очевидное финансовое утверждение: дисконтированная стоимость оессрочного аннуитета пренумерандо отличается от таковой для аннуитета постнумерандо на величину первого платежа.