Ожидаемое значение и дисперсия результатов : пример денежного потока
Распределения вероятностей, показанные на рис. 14.1, можно оценивать по двум параметрам распределения: 1) ожидаемому значению величины (математическому ожиданию) (expected value) и 2) стандартному, средне-квадратическому отклонению (standard deviation). Вы, наверное, помните, что эти параметры мы уже обсуждали — с точки зрения доходности ценных бумаг — в главе 5. На этот раз нас интересует не процентное значение доходности, а величина денежных потоков. Мы еще раз сделаем краткий обзор математического вычисления ожидаемого значения величины и стандартного отклонения, а затем проиллюстрируем эти вычисления уже приведенным нами примером денежных потоков.
|
|
Рис. 14.1. Сравнение двух инвестиционных проектов на основе распределения вероятностей возможных значений денежных потоков
Ожидаемое значение (expected value) распределения вероятностей денежных потоков для периода времени t, CFt, определяется по формуле
(14.1)
где CFa — денежный поток для х-й возможности в период времени t, Ря — вероятность возникновения этого денежного потока, п — общее количество возможностей возникновения денежного потока в период времени t. Таким образом, ожидаемое значение денежного потока является средневзвешенным возможных значений денежных потоков, причем веса в данном случае представляют собой вероятности возникновения соответствующих денежных потоков.
Среднеквадратическое отклонение, стандартное отклонение (standard deviation)
Статистическая мера изменчивости распределения вероятностей по отношению к своему среднему значению, Представляет собой квадратный корень из дисперсии.
Общепринятой мерой изменчивости выступает среднеквадратическое отклонение (стандартное отклонение) (standard deviation), которое завершает наше описание двух параметров распределения денежных потоков. Чем "компактнее" рассматриваемое нами распределение, тем меньше стандартное отклонение; чем "шире" это распределение, тем больше стандартное отклонение. Стандартное отклонение денежных потоков в период времени t, о ~ „ можно представить формулой
Квадрат стандартного отклонения, аД известен как дисперсия (variance) соответствующего распределения. Несмотря на то что все это выглядит довольно устрашающе, на самом деле стандартное отклонение вычисляется достаточно просто (с помощью калькулятора).
Стандартное отююнение — это мера "компактности" распределения вероятностей. В случае нормального (колоколообразного) распределения примерно 68% его общей площади ограничено снизу отрезком, включающим по одному средне-квадратическому отклонению по обе стороны от ожидаемого значения (математического ожидания). Это означает, что вероятность того, что фактический результат будет отстоять от ожидаемого значения больше, чем на величину одного среднеквадратического отклонения, равняется лишь 32%. Вероятность того, что фактический результат попадет в пределы двух среднеквадратических отклонений от ожидаемого значения соответствующего распределения, равняется приблизительно 95%, а вероятность того, что он попадет в пределы трех среднеквад-ратических отклонений от ожидаемого значения, оказывается несколько больше 99%. В табл. V Приложения, помещенного в конце книги, представлены значения площади нормального распределения от ожидаемого значения для разных значений среднеквадратических отклонений от ожидаемого значения. Как будет показано далее в этой главе, стандартное отклонение можно использовать для оценки вероятности наступления того или иного события.
Иллюстрация. Чтобы проиллюстрировать методы вычисления ожидаемого значения и стандартного отклонения распределения вероятностей возможных значений денежных потоков, рассмотрим еще раз наш предыдущий пример с двумя инвестиционными проектами.
|
Проект А |
|
|
|
|
Возможный денежный поток, CFx1 (долл.) |
Вероятность возникновения, Рx1 |
(CFx1)(PX1) (долл.) |
(CFx1-CF1)2(Px) |
|
3000 |
0.10 |
300 |
(3000 долл. - 4000 долл.)2(0,10) |
|
3500 |
0.20 |
700 |
(3500 долл. - 4000 долл.)3(0,20) |
|
4000 |
0,40 |
1600 |
(4000 долл. - 4000 долл.)2(0,40) |
|
4500 |
0,20 |
900 |
(4500 долл. - 4000 долл.)г(0.20) |
|
5000 |
0,10 |
500 |
(5000 долл. - 4000 доллОЧО, 10) |
|
|
|
|
|
|
Возможный де- |
Вероятность |
(CFx1)(Px1) |
(CFx1 - CF02(P ) |
|
нежный поток, |
возникновения, |
(ДОЛЛ.) |
|
|
CFx1 (долл.) |
Рх1 |
|
|
|
Проект В |
|
|
|
|
2000 |
0,10 |
200 |
(2000 долл, -4000 долл,)2(0,10) |
|
3000 |
0,20 |
600 |
(3000 долл. - 4000 долл.)2(0,20) |
|
4000 |
0,40 |
1600 |
(4000 долл. - 4000 долл.)2(0,40) |
|
5000 |
0,20 |
1000 |
(5000 долл, - 4000 долл,)2(0,20) |
|
6000 |
0,10 |
600 |
(6000 долл, -4000 долл.)2(0,10) |
|
|
£ = 1.00 |
Ј = $4000 = CFi |
£ = $1200 000 = а2 ($1200 ООО) 0 ,5 = $1095 = а. |
Ожидаемое значение распределения денежных потоков для проекта А равняется 4000 долл., т.е. такое же, как у проекта В. Однако стандартное отклонение у проекта А — 548 долл., тогда как у проекта В — 1095 долл. Таким образом, инвестиционный проект В характеризуется более высоким значением стандартного отклонения, что свидетельствует о более высоком разбросе возможных результатов. Следовательно, можно сказать, что проект В более рискованный.
Коэффициент вариации. Мерой относительной дисперсии распределения значений является коэффициент вариации (coefficient of variation). С математической точки зрения он определяется как отношение стандартного отклонения распределения величины к ожидаемому значению этого распределения. Таким образом, он отражает меру риска на единицу ожидаемого значения. Коэффициент вариации для предложения А равняется:
СУ, =$548/34000 = 0,14,
а коэффициент вариации для предложения В:
CVB =$1095/84000 = 0,27.
Поскольку коэффициент вариации для предложения В больше, чем для предложения А, предложение В характеризуется большей степенью относительного риска. В оставшемся материале этой главы читателям будут встречаться постоянные ссылки на ожидаемое значение, стандартное отклонение и коэффициент вариации1.
1 Мы предполагаем, что о степени риска можно судить исключительно в связи с ожидаемым значением величины денежных потоков и среднеквадратическим отклонением распределения их вероятностей. При этом подразумевается, что форма распределения не имеет значения. Это положение выполняется, если распределение относительно симметричное (или колоколообразное). Однако если у распределения наблюдается ярко выраженный перекос влево или вправо, руководству следует принять во внимание и это обстоятельство. Несмотря на то что в выполняемом нами анализе риска можно сделать поправку и на этот перекос, осуществить это на строго математической основе довольно непросто. С целью упрощения мы "работаем" только с ожидаемым значением и среднеквадратическим отклонением нормального распределения вероятностей.