Начисление сложных процентов несколько раз в течение года
Полугодичный и другие периоды начисления сложных процентов
Будущая стоимость. До сих пор мы предполагали, что проценты выплачиваются ежегодно. Такое предположение существенно облегчает понимание основ изменения стоимости денег во времени. Сейчас, однако, наступило время рассмотреть взаимосвязь между будущей стоимостью и процентными ставками для различных периодов начисления процентов. Предположим, что
проценты по вкладу выплачиваются раз в полгода. В этом случае, если вы помещаете 100 долл. на сберегательный счет при номинальной (nominal) (или объявленной (stated)) годовой процентной ставке, равной 8%, будущая стоимость по истечении шести месяцев составит:
FV05 = $100(1+[0,08/2]) = $104.
Иными словами, в конце полугодия вам должны начислить 4%, а не 8%. В конце года будущая стоимость вашего вклада составит:
Щ =$100(1 + [ 0 , 0 8 / 2 ] ) 2 =$108,16 .
Эта сумма равнялась бы 108 долл., если бы процент выплачивался лишь раз в год. Разница в 0,16 долл. объясняется тем, что проценты за вторые шесть месяцев начисляются на дополнительные 4 долл., начисленные в конце первых шести месяцев. Чем большее число раз на протяжении года начисляются проценты, тем большей оказывается будущая стоимость в конце данного года.
Номинальная (объявленная) процентная ставка (nominal (stated) interest rate)
Процентная ставка, указываемая применительно к периоду в один год и не корректируемая в соответствии с частотой начисления процентов. Если проценты начисляются несколько раз в год, эффективная процентная ставка оказывается выше, ч е м номинальная процентная ставка.
Универсальная формула для определения будущей стоимости по истечении п лет, когда процент начисляется m раз на протяжении одного года, имеет следующий вид:
FVn=PV0(l + [i/m]r • (3-17)
Чтобы проиллюстрировать использование этой формулы, допустим, что новые проценты выплачиваются поквартально. Допустим также, что вы хотите знать будущую стоимость 100 долл. в конце одного года, когда объявленная годовая ставка равняется 8%. В этом случае будущая стоимость равняется:
Щ= $100(1 + [0,08/4])<4)<1)
= $100(1 + 0,02)4 =$108,24,
что, конечно же, больше, чем мы получили бы при использовании полугодичного или ежегодного начисления сложных процентов.
Будущая стоимость по истечении трех лет в случае поквартального начисления сложных процентов составит:
FV3 = $100(1+ [ 0 , 0 8 / 4 ] )(4)<3) = $100(1 + 0,02)12 =$126,82,
а в случае полугодичного начисления сложных процентов:
FV3= $100(1 + [0,08/ 2] )(2)(3) = $100(1 + 0,04)6 =$126,53.
В случае ежегодного начисления сложных процентов будущая стоимость по истечении трех лет составит:
FV3 = $100(1 + [ 0 , 0 8 / 1 ] )(1)(3) = $100(1 +0,08)3 =$125,97.
Таким образом, чем чаще в течение года выплачивается процент, тем большей оказывается будущая стоимость. Когда т в уравнении (3.17) стремится к бесконечности, мы приближаемся к непрерывному начислению (continuous compounding) процентов. Вскоре мы более подробно остановимся на непрерывном начислении и дисконтировании.
Приведенная стоимость. Когда проценты начисляются чаще, чем один раз в год, формулу для вычисления приведенной стоимости необходимо пересмотреть в том же плане, что и формулу для вычисления будущей стоимости. Вместо того чтобы делить будущий денежный поток на (1+г)", как мы поступаем в случае ежегодного начисления сложных процентов, приведенная стоимость определяется с помощью формулы
PV0=FVJ(l+[i/m]r, (3.18)
где, как и раньше, FVn представляет собой будущий денежный поток, который будет получен по окончании года п, т— сколько раз за год начисляются сложные проценты, a i — ставка дисконтирования. Воспользовавшись уравнением (3.18), мы могли бы вычислить, например, приведенную стоимость 100 долл., полученных по истечении трех лет, при начисляемой поквартально 8%-ной номинальной ставке дисконтирования:
PV0 =$100/(1 + [ 0 , 0 8 / 4 ] )(4)(3> = $ 100/(1 + 0.02)12 =$78,85.
Если ставка дисконтирования начисляется лишь раз в год, мы получим: PV0 =$100/(1 + 0,08)3 =$79,38 .
Таким образом, чем меньшее количество раз в год происходит начисление номинальной ставки дисконтирования, тем большей оказывается приведенная стоимость. Эта взаимосвязь является полной противоположностью тому, что мы наблюдаем в случае будущей стоимости.