ВОПРОС —ОТВЕТ Как определить будущ ую ( приведенную ) стоимость инвестиции
применительно к промежутку времени, содержащему нецелое количество периодов ( например , 1,25 года)?
Это очень просто. Все, что от нас требуется, — изменить формулу для определения будущей (приведенной) стоимости, чтобы она включала десятичную дробь, Допустим, вы помещаете 1000 долл. на сберегательный счет под 6% годовых, начисляемых по методу сложных процентов, и хотите забрать свой вклад через 15 месяцев (т.е. через 1,25 года). Поскольку FVn = Р0(1 + 0", то через 15 месяцев вы снимете со своего счета следующую сумму:
FV126 =$1000(1 + 0, Об)125 = $ 1 0 7 5 , 5 5 ,
Неизвестная процентная (или дисконтная) ставка. Иногда, анализируя зависимость стоимости денег от времени, мы сталкиваемся с ситуациями, когда известны будущая и приведенная стоимости, а также количество интересующих нас периодов времени. Однако мы не знаем, какая ставка применяется в данной ситуации для начисления сложных процентов.
Допустим, что, инвестировав сегодня 1000 долл., ровно через восемь лет вы получите 3000 долл. Ставку, которая используется в данной ситуации для начисления сложных процентов (или дисконтирования), можно найти, преобразовав базовое уравнение для будущей (приведенной) стоимости. Воспользовавшись, например, уравнением (3.5) для будущей стоимости, получаем:
FVs=P0(FVIFiS) $3000 = $ 1 0 0 0 ( / У Щ8 ) /=УЩ8=$3000/$1000 = 3.
Просматривая в табл. 3.3 строку, соответствующую восьмилетнему периоду, находим коэффициент будущей стоимости (FVIF), ближайший к вычисленному нами значению — 3. Ближайшим к числу 3 значением коэффициента будущей стоимости является 3,059, которое мы находим в столбце, соответствующем 15%. Поскольку 3,059 несколько больше, чем 3, мы приходим к выводу, что процентная ставка в рассматриваемой ситуации на самом деле должна быть несколько больше 15%.
Чтобы получить более точный ответ, нам надо учесть то обстоятельство, что FVIFiS можно также представить в виде (1 + г)8 и найти г непосредственно как
(1 + г )8 = 3
(1 + г) = 3 1 / 8 = 30д25 =1,1472
г = 0,1472.
(Примечание. Решая это уравнение относительно г, мы сначала должны возвести обе части уравнения в степень 1/8, или 0,125. Чтобы возвести 3 в степень 0,125, мы используем клавишу [ух] на карманном калькуляторе, вводя 3, нажимая клавишу [ух], вводя 0,125 и, наконец, нажимая клавишу [=].)
Неизвестное количество периодов начисления сложных процентов (или дисконтирования). Иногда нам требуется знать, сколько понадобится времени, чтобы некоторая сумма, инвестированная сегодня, достигла определенной будущей стоимости при заданной ставке начисления сложных процентов. Сколько, например, понадобится времени, чтобы инвестиция в размере 1000 долл. выросла до 1900 долл. при условии начисления сложных процентов с 10%-ной ставкой? Поскольку нам известна будущая и приведенная стоимость данной инвестиции, количество периодов начисления сложных процентов (или дисконтирования), п, используемое в этой инвестиционной ситуации, можно определить, преобразовав базовое уравнение для будущей или приведенной стоимости. Воспользовавшись, например, уравнением (3.5) для будущей стоимости, получаем:
FVn=PQ(FVIFi0%n)
$1900 = $ 1 0 0 0 ( i W10% „ )
FVIFiQ%n =$1900/$1000 = 1,9.
Просматривая в табл. 3.3 столбец, соответствуюпгий 10%, находим коэффициент будущей стоимости (FVIF), ближайший к вычисленному нами значению — 1,9. Ближайшим к числу 1 , 9 значением коэффициента будущей стоимости является 1,949, которое мы находим в строке, соответствующей семилетнему периоду. Поскольку 1,949 несколько больше, чем 1,9, мы приходим к выводу, что количество периодов начисления процентов в рассматриваемой ситуации на самом деле должно быть несколько меньше семи лет.
Чтобы обеспечить большую точность, представим FVIF10%n в виде (1 + 0,10)я и решим соответствующее уравнение относительно п:
(1 + 0,10)" =1,9
и(Ы,1) = Ы , 9
п = (In 1,9) / ( I n 1,1) = 6,73 года.
Чтобы решить это уравнение относительно п, которое в преобразованном нами уравнении имеет вид показателя степени, воспользуемся маленькой хитростью. Мы берем натуральный логарифм (In) обеих частей нашего уравнения. Это позволяет нам решить уравнение в явном виде относительно п. (Примечание. Чтобы разделить (In 1,9) на (In 1,1), мы следующим образом используем клавишу [LN] на карманном калькуляторе: вводим 1,9, нажимаем клавишу [LN], затем нажимаем клавишу [+]; после этого вводим 1,1, еще раз нажимаем клавишу [LN] и, наконец, нажимаем клавишу [=].)