Подход , основанный на использовании дерева вероятностей
Дерево вероятностей (probability tree)
Графический или табличный подход к организации возможных последовательностей денежных потоков, генерируемых инвестиционным предложением, Такое представление напоминает ветви дерева, Каждая полная ветвь ассоциируется с какой-то одной из возможных последовательностей денежных потоков,
Один из способов решения этой задачи заключается в использовании дерева вероятностей (probability tree). Дерево вероятностей представляет собой графический или табличный подход к организации возможных последовательностей денежных потоков, генерируемых в ходе реализации инвестиционного проекта. В этом случае мы указываем вероятные будущие денежные потоки рассматриваемого проекта в их взаимосвязи с результатами предыдущих периодов. Так мы можем учесть в нашем анализе корреляцию денежных потоков, относящихся к разным периодам времени. Если, например, оказывается, что рассматриваемый проект характеризуется хорошим (высоким) денежным потоком в первый период, то имеются неплохие шансы,, что он будет характеризоваться хорошими денежными потоками и в последующие периоды. Однако, несмотря на то что подобная связь между тем, что происходит один период, и тем, что происходит в последующие периоды, наблюдается достаточно часто, мы все же не можем быть полностью уверены в ней. Если считается, что денежные потоки в разные периоды времени никак не связаны между собой, то мы просто указываем распределение вероятностей величин денежных потоков в разные периоды времени. Если такая взаимосвязь все же существует, ее обязательно следует учитывать.
При использовании дерева вероятностей мы пытаемся представить ход будущих событий. На рис. 14.3 показано дерево вероятностей для проекта, рассчитанного на два периода. Каждая полная ветвь представляет одну возможную последовательность денежных потоков. Для каждой из девяти ветвей, показанных на этом рисунке, денежные потоки и соответствующие им вероятности пронумерованы. Из рисунка видно: если результат за период 1 очень хороший (мы оказываемся на 500-долларовой ветви), это приводит нас к совершенно иной совокупности возможных результатов за период 2 (800, 500 или 200 долл.), чем в случае, если бы период 1 оказался для нас очень неблагоприятным (когда мы оказываемся на ветви, соответствующей -100 долл.). Следовательно, в момент времени 0 дерево вероятностей представляет нашу наилучшую оценку того, что, видимо, произойдет в будущем, если за основу берутся более ранние события (имевшие место в предшествующие периоды).
Рис. 14.3. Графическое представление дерева вероятностей, свидетельствующее о том, что денежные потоки за второй год умеренно коррелированы с денежнььчи потоками за первый год; например, вероятнее (но не гарантировано), что у нас будет хороший денежный поток за второй год, если отмечался хороший денежный поток за первый год
Д Л Я первого периода величина денежного потока не зависит от того, что происходило раньше. Следовательно, вероятность, связанную с начальным участком каждой полной ветви, называют начальной вероятностью {initial probability). Однако величина денежного потока за второй период зависит от того, что происходило раньше. Следовательно, вероятности, связанные с последующими периодами, называют условными вероятностями {conditional probabilities). Наконец, совместная вероятность (joint probability) представляет собой вероятность возникновения какой-то конкретной последовательности денежных потоков. Чтобы проиллюстрировать эти понятия, обратимся к нашему примеру проекта, рассчитанного на два периода.
Допустим, что мы изучаем возможность реализации инвестиционного проекта, представленного на рис. 14.3 (этот проект требует первоначальных инвестиций в размере 240 долл.). Учитывая результирующий денежный поток за первый год в размере 500 долл., условная вероятность того, что за второй год мы получим 800 долл., равняется 40% (вероятность того, что денежные поступления составят 500 долл. равняется 40%, а вероятность того, что денежные поступления составят 200 долл., — 20%). Совместная вероятность того, что денежные поступления за первый год в размере 500 долл. будут сопровождаться денежными поступлениями за второй период в размере 800 долл. (т.е. вероятность пути, денежные потоки которого выделены жирным шрифтом, или ветви 1), представляет собой произведение начальной вероятности на соответствующую условную вероятность: 0,25 х 0,40 = 0,10 (см. табл. 14.1).
Аналогично этому совместная вероятность того, что денежный поток за первый год в размере 500 долл. будет сопровождаться денежным потоком за второй период в размере 500 долл., равняется 0,25 х 0,40 = 0,10, а совместная вероятность того, что денежный поток за первый год в размере 500 долл. будет сопровождаться денежным потоком за второй период в размере 200 долл., равняется 0,25 х 0,20 = 0,05. Если величина денежного потока за первый год равняется 200 долл., тогда вероятность того, что денежный поток за второй период составит 500 долл., равняется 0,20; 200 долл. — 0,60; а минус 100 долл. — 0,20. Точно так же мы можем вычислить совместные вероятности для трех полных ветвей, показанных на этом рисунке. Они равняются соответственно 0,10, 0,30 и 0,10. Аналогично можно определить совместные вероятности для последней совокупности из трех полных ветвей, где чистый денежный поток за первый год равняется -100 долл.
Таблица 14.1. Табличное представление дерева вероятностей*
Таблица 14.1. Табличное представление дерева вероятностей*
|
Год1 |
|
Год 2 |
|
||
|
Начальная вероятность Р<1> |
Чистый денежный поток (долл.) |
|
Условная вероятность Р(2 I 1) |
Чистый денежный поток (долл.) |
Совместная вероятность Р(1,2) |
|
0,25 |
500 |
|
-0,40 |
800 |
0,10 |
|
-0,40 |
500 |
0,10 |
|||
|
-0,20 |
200 |
0,05 |
|||
|
|
|
|
1,00 |
|
|
|
0,50 |
200 " |
|
-0,20 |
500 |
0,10 |
|
-0,60 |
200 |
0,30 |
|||
|
-0,20 |
-100 |
0,10 |
|||
|
|
|
|
1,00 |
|
|
|
0,25 |
-100 - |
|
-0,20 |
200 |
0,05 |
|
-0,40 |
-100 |
0,10 |
|||
|
-0,40 |
-400 |
0,10 |
|||
|
1,00 |
|
|
1,00 |
|
1,00 |
'Начальные инвестиции в момент времени 0 составляют 240 долл, 'Начальные инвестиции в момент времени 0 составляют 240 долл.