Приложение А . Определение риска инвестиционного портфеля
Общий риск портфеля измеряется стандартным отклонением распределения вероятностей возможных доходностей ценных бумаг — ар. Стандартное
отклонение портфеля равняется:
где т — общее количество различных ценных бумаг в портфеле, W} — доля средств, инвестированная в ценную бумагу j, Wt — доля средств, инвестированная в ценную бумагу k, najk — ковариация возможных доходностей ценных бумагу и k. (Термин ковариации будет пояснен чуть ниже.)
Эта пугающая формула нуждается в дополнительных объяснениях. Двойной знак суммирования ЕЕ означает, что сумма рассчитывается по рядам и колонкам квадратной (т на т) матрицы, т.е. мы складываем т элементов. Матрица состоит из взвешенных ковариации каждой возможной комбинации из двух ценных бумаг, а весовые коэффициенты представляют собой произведения долей средств, инвестированных в каждую из двух ценных бумаг. Например, т равно 4. Матрица взвешенных ковариации возможных попарных комбинаций будет иметь следующий вид.
|
|
Колонка 1 Колонка 2 Колонка 3 Колонка 4 Ряд1 Ряд 2 РядЗ Ряд 4
Ц и ф р ы комбинации в верхнем левом углу — 1,1 — означают, что j = ки мы рассматриваем взвешенную ковариацию ценной бумаги 1 саму с собой или просто взвешенную дисперсию ценной бумаги 1. Это объясняется тем, что в выражении ( 5 А - 1 ) о-4 2 = ст,^ = о\, или квадрат стандартного отклонения.
Следуя по главной диагонали от верхнего левого к нижнему правому углу матрицы, находим четыре случая равенства j = k, где мы будем иметь дело со взвешенной дисперсией. Следующее сочетание в первом ряду WjW2ali2 обозначает взвешенную ковариацию доходностей ценных бумаг 1 и 2. Заметим, однако, что и первое сочетание в ряду 2 W2W1G2,1 обозначает взвешенную кова-риацию доходностей ценных бумаг 2 и 1. Другими словами, мы считаем взвешенную ковариацию ценных бумаг 1 и 2 дважды. Аналогично этому происходит двойной счет и других комбинаций ценных бумаг, не располагающихся на главной диагонали. Это объясняется тем, что все элементы, расположенные над главной диагональю, имеют свое "зеркальное отображение" под диагональю. Вкратце мы суммируем все взвешенные дисперсии и кова-риации в матрице для всех возможных попарных сочетаний ценных бумаг. В нашем примере матрицу составляют 16 элементов: 4 взвешенные дисперсии и 6 взвешенных ковариации, посчитанных дважды. Саму матрицу называют матрицей дисперсии-ковариации (variance-covariance matrix).
Формула (5А.1) отражает одну очень важную закономерность. Стандартное отклонение доходности портфеля зависит не только от дисперсии отдельных его ценных бумаг, но и от ковариации различных их пар. С ростом числа ценных бумаг в портфеле значимость элементов ковариации возрастает по сравнению с элементами дисперсии. Это видно из рассмотрения матрицы дисперсии-ковариации. Если портфель состоит из двух ценных бумаг, она будет состоять из двух элементов взвешенной дисперсии и двух элементов взвешенной ковариации. Однако при большом портфеле общая дисперсия будет зависеть в основном от ковариации ценных бумаг. Например, в случае портфеля из 30 ценных бумаг матрица будет содержать 30 элементов взвешенной дисперсии и 870 элементов взвешенной ковариации. При дальнейшем увеличении портфеля, вплоть до охвата всех ценных бумаг, очевидно, что ко-вариация становится доминирующим фактором.
Ковариация (covariance) возможных доходностей двух ценных бумаг представляет собой величину, определяющую степень связи, существующей между колебаниями значений их доходностей. В формуле (5А.1) ей соответствует элемент
(5А.2)
где rjk — ожидаемый коэффициент корреляции (correlation coefficient) возможных доходностей ценных бумагу и к, ст; — стандартное отклонение доходности для ценной бумаги j, а ак — стандартное отклонение доходности для ценной бумаги к. Если в формуле (5А.1); = к, коэффициент корреляции равен единице, поскольку переменная полностью коррелированна сама с собой, тогда fjjGjaj превращается в а2. И снова мы видим, что по диагонали матрицы расположены величины дисперсии ценных бумаг.
Коэффициент корреляции (correlation coefficient)
Нормализованная статистическая мера линейного соотношения двух переменных. Она принимает значения в диапазоне от -1,0 (полная отрицательная корреляция) через 0 (отсутствие корреляции) до +1,0 (полная положительная корреляция).
Коэффициент корреляции принимает значения в диапазоне от -1,0 до +1,0. Положительный коэффициент корреляции говорит о том, что в общем случае движение доходностей ценных бумаг происходит в одном направлении, а отрицательный — в противоположных. Чем сильнее взаимосвязь, тем ближе коэффициент корреляции к одному из крайних значений. Нулевой коэффициент корреляции свидетельствует о том, что доходности двух ценных бумаг не коррелированы, т.е. не наблюдается тенденции их совместного изменения (положительной или отрицательной). Доходность большинства акций изменяется в одном направлении, но жесткой связи нет. Поэтому коэффициент корреляции двух ценных бумаг, как правило, положителен, но меньше 1,0.
Пример расчетов. Чтобы проиллюстрировать определение стандартного отклонения портфеля с использованием формулы (5А.1), рассмотрим одни акции с ожидаемой годовой доходностью 16% и стандартным отклонением 15% и другие — с показателями 14 и 12% соответственно. Предположим, что ожидаемый коэффициент корреляции этих акций равен 0,40. Если в акции вложены равные суммы, то ожидаемая доходность портфеля составит:
Rp = (0,5)16% + (0,5)14% = 15%.
В этом случае ожидаемая доходность равна взвешенной средней доходности двух акций, составляющих портфель. Дальше мы увидим, что стандартное отклонение доходности получившегося портфеля не равно средневзвешенному стандартных отклонений доходностей каждой из двух акций. На самом деле оно меньше.
Стандартное отклонение доходности портфеля находим, суммируя все элементы следующей матрицы дисперсии-ковариации и найдя квадратный корень из результата сложения.
|
Акция1 |
Акция 2 |
|
Акция1 f (0,5)2(1,0)(0,15)2 |
(0,5)(0,5)(0,4)(0,15)(0,12) |
|
Акция2 [(0,5)(0,5)(0,4)(0,12)(0,15) |
(0,5)2(1,0)(0,12)2 |
Следовательно,
222 Часть II. Оценка активов
o-p=V(0,5)2(l,0)(0,15)2 + 2(0,5)(0,5)(0,4)(0,15)(0,12) + V(0,5)2(l,0)(0,12)2
= 7012825 = 11,3%.
Из формулы (5А.1) мы знаем, что ковариация двух акций считается дважды, поэтому элемент ковариации умножаем на 2. Когда j = 1 и k = 1 для акции 1, инвестированную часть (0,5) возводим в квадрат, так же как и стандартное отклонение (0,15). Коэффициент корреляции, конечно, равен 1,0. Аналогично поступаем в случае акции 2, когда j = 2 и k = 2.
Важно понять: если коэффициент корреляции двух ценных бумаг меньше 1,0, то стандартное отклонение доходности портфеля будет меньше средневзвешенного значения стандартных отклонений доходностей двух отдельных акций. (Попробуйте подставить равный единице коэффициент корреляции в формулу (5А.1): в этом особом случае стандартное отклонение портфеля окажется равным средневзвешенному стандартных отклонений (0,5)15% + + (0,5)12% = 13,5%.) В принципе, для портфеля любого размера верно утверждение: если коэффициент корреляции хотя бы одной пары ценных бумаг меньше 1,0, то стандартное отклонение доходности портфеля будет меньше средневзвешенного значения стандартных отклонений доходностей составляющих его ценных бумаг.
Данный пример показывает, что, при прочих равных условиях, нерасположенные к риску инвесторы будут стремиться диверсифицировать портфели, добавляя в них не полностью положительно коррелированные ценные бумаги г.к <1,0. В противном случае они бы подвергали себя ненужному риску.