Аннуитеты
Обычный аннуитет. Аннуитет (annuity) представляет собой ряд равных денежных платежей (выплат или поступлений), совершающихся через равные промежутки времени (периоды). В случае обычного аннуитета (ordinary annuity) выплаты или поступления происходят в конце каждого периода. На рис. 3.3 показана последовательность денежного потока в случае обычного аннуитета на временной оси (временном графике, временной шкале).
Аннуитет (annuity)
Ряд равных денежных платежей (выплат или поступлений), совершающихся через равные промежутки времени (периоды). В случае обычного аннуитета (ordinary annuity) выплаты или денежные поступления происходят в конце каждого периода, а в случае срочного аннуитета (annuity due) выплаты или денежные поступления происходят в начале каждого периода.
Конец года
Рис. 3.3- Временная ось, на которой представлена последовательность денежных потоков для обычного аннуитета 1000 долл. за год в течение трех лет
Допустим, что рис. 3.3 отражает получение вами 1000 долл. каждый год в течение трех лет. Допустим также, что эту получаемую ежегодно тысячу вы помещаете на сберегательный счет под 8% годовых, начисляемых по методу сложных процентов. Сколько денег окажется у вас по истечении трех лет? Ответ на этот вопрос представлен на рис. 3.4 (сложный способ); при этом мы использовали лишь уже обсуждавшиеся нами инструменты.
Ниже приведена формула для FVAn, представленная в алгебраическом виде (FVAn — будущая (сложная) стоимость аннуитета; R — периодическое денежное поступление (или выплата) и п — продолжительность аннуитета):
FVAn = R(\ + i)""1 + R(l + г)""2 +... + R(l + г)1 + R(l + if = R[FVIFt^t +FVIFin_2 + ... + FVIFil+FVIFi0].
Как следует из этой формулы, FVAn равняется величине периодических денежных поступлений (R), умноженной на "сумму коэффициентов будущей стоимости денежных поступлений при i% для периодов времени от 0 до п - 1". К счастью, эту формулу можно представить в более компактном виде:
£(1+о я
FVA=R = Д([(1+0"-1]/0, (3.8)
или, что то же самое,
FVA„=R(FVIFAIM), (3.9)
где FVIFAin означает "коэффициент будущей стоимости аннуитета при процентах для п периодов".
СОВЕТ
Решая задачи, связанные с изменением стоимости денег во времени, бывает полезно вначале начертить временную ось и позиционировать на ней соответствующие денежные потоки, Такой подход позволяет сосредоточиться на сути решаемой задачи и сократить вероятность появления ошибок. Когда мы приступим к обсуждению смешанных денежных потоков, такой подход окажется еще более актуальным.
Сокращенный перечень значений FVIFA приведен в табл. 3.5. Более полный перечень значений FVIFA приведен в табл. I I I Приложения.
Воспользовавшись табл. 3.5 для решения нашей задачи, представленной на рис. 3.4, получим:
FVA3=$1000(FVIFAS%3)
= $1000(3,246) = $3246
Этот ответ идентичен тому, который представлен на рис. 3.4. (Примечание. Использование таблицы вместо формулы приводит к незначительным ошибкам округления. Если бы мы воспользовались уравнением (3.8), наш ответ оказался бы на 40 центов больше. Таким образом, если требуется особая точность, вместо таблиц следует пользоваться соответствующими формулами.)
Будущая стоимость обычного аннуитета при процентной ставке 8% за 3 года (FVA3) = $3246
Рис. 3.4. Временная ось для вычисления будущей (сложной) стоимости обычного аннуитета (периодическоепоступление — R = 1000долл.;i = 8% ип=3года)
Таблица 3.5. Коэффициенты б уд у щ е й стоимости обычного аннуитета 1 долл. за один период при /% для л периодов (FVIFAln)
(.FVIFA,л) = Ј (1 + / Г ' = ((1 + 0" -1) / /
|
Период (п) |
Процентная ставка (0 |
|||||
|
|
1% |
3% |
5% |
8% |
10% |
15% |
|
1 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
|
2 |
2,010 |
2,030 |
2,050 |
2,080 |
2,100 |
2,150 |
|
3 |
3,030 |
3,091 |
3,153 |
3,246 |
3,310 |
3,473 |
|
4 |
4,060 |
4,184 |
4,310 |
4,506 |
4,641 |
4,993 |
|
5 |
5,101 |
5,309 |
5,526 |
5,867 |
6,105 |
6,742 |
|
6 |
6,152 |
6,468 |
6,802 |
7,336 |
7,716 |
8,754 |
|
7 |
7,214 |
7,662 |
8,142 |
8,923 |
9,487 |
11,067 |
|
8 |
8,286 |
8,892 |
9,549 |
10,637 |
11,436 |
13,727 |
|
9 |
9,369 |
10,159 |
11,027 |
12,488 |
13,579 |
16,786 |
|
10 |
10,462 |
11,464 |
12,578 |
14,487 |
15,937 |
20,304 |
Вернемся ненадолго к рис. 3.3. Предположим на этот раз, что мы снимаем деньги в размере 1000 долл. за год в течение трех лет со сберегательного счета, условия которого обеспечивают 8% годовых, начисляемых по методу сложных процентов. Какую сумму вам следовало бы поместить прямо сейчас (точка 0) на депозит, чтобы после снятия последних 1000 долл. вы закрыли счет? На рис. 3.5 показан сложный способ решения этой задачи.
Рис. 3.5. Временная ось для вычисления приведенной (дисконтированной) стоимости обычного аннуитета (периодическое поступление — R = 1000 долл.; i = 8% и п = 3 года)
Как видно из рис. 3.5, определение приведенной стоимости аннуитета сводится к нахождению суммы ряда значений приведенной стоимости отдельных поступлений. Таким образом, мы можем написать общую формулу для приведенной стоимости обычного аннуитета для п периодов (PVAJ в следующем виде:
PVA„ = Д[1/(1 + г)1 ] + W ( l + О2] + - + + 0" ]
= R[PVIFLl + PVIFa +... + PVIFin].
Обратите внимание, что наша формула сводится к тому, что PVAn равняется величине периодических денежных поступлений (R), умноженной на "сумму коэффициентов приведенной стоимости при i процентах для периодов времени от 1 до п". С математической точки зрения это эквивалентно выражению
PVA. = R Ј 1 / ( 1 + 0' (3.10)
и может быть представлено даже еще проще:
PVAn=R(PVIFAL„), (3.11)
где PVIFAjn означает "коэффициент приведенной стоимости обычного аннуитета при i процентах для п периодов". Табл. IV Приложения содержит значения PVIFAin для широкого спектра значений i и я, а табл. 3.6 представляет собой подмножество табл. IV.
Мы могли бы воспользоваться данными, приведенными в табл. 3.6, для нахождения приведенной стоимости аннуитета величиной 1000 долл., выплачиваемой в течение трех лет при 8% годовых (см. рис. 3.5). В табл. 3.6 находим, что PVIFAS%3 равняется 2,577. (Обратите внимание: эта величина — не что иное, как сумма первых трех чисел в столбце 8% табл. 3.4, с помощью которой находятся значения PVIF.) Воспользовавшись уравнением (3.11), получаем:
PVA3=$\000(PVIFAs%3)
= $1000(2,577) = $2577
Бессрочная (пожизненная) рента (perpetuity) представляет собой обычный аннуитет, процедуры выплаты или получения которого продолжаются "до бесконечности". Умение определять приведенную стоимость этого аннуитета особого типа потребуется от нас в следующей главе, когда мы будем определять стоимость облигаций, не имеющих конечного срока погашения (perpetual bonds), и привилегированных акций.
Бессрочная (пожизненная) рента (perpetuity)
Обычный аннуитет, п р о ц е д у р ы выплаты или получения к о т о р о г о продолжаются бесконечно.
Повторный анализ РУД, в уравнении (3.10) поможет нам несколько упростить решение этой задачи. Подставляя в уравнение (3.10) значение бесконечности (°°) вместо п, получаем:
Р У Д = й[(1 - [1/(1 + 0" ] ) / г] • (3-12)
Поскольку член, заключенный в квадратные скобки — [1/(1+0°°]' — стремится к нулю, уравнение (3.12) можно переписать в следующем виде:
РУД = P [ ( l - 0 ) / i ] = P(l/z)
или просто
PVA_=R/i. (3.13)
Таким образом, приведенная стоимость бессрочной ренты представляет собой величину периодического получения (выплаты), поделенную на процентную ставку, относящуюся к одному периоду. Если человек ежегодно (и пожизненно) получает, например, 100 долл., а процентная ставка равняется 8%, тогда приведенная стоимость этой бессрочной ренты составляет 1250 долл. (т.е. 100 долл. /0,08).
Таблица 3.6. Коэффициенты приведенной стоимости обычного аннуитета, п р е д ус м ат р и в а ю ще го п ла т е ж 1 долл. за один п е рио д при / процентах д л я п п е р и о д о в (PVIFAi,n)
(PVIFA, J = ]N/(1+/)' = (1 - (1 /(1 + /)"))//
t=1
|
Период (n) |
Процентная ставка (i) |
|||||
|
|
1% |
3% |
5% |
8% |
10% |
15% |
|
1 |
0,990 |
0,971 |
0,952 |
0,926 |
0,909 |
0,870 |
|
2 |
1,970 |
1,913 |
1,859 |
1,783 |
1,736 |
1,626 |
|
3 |
2,941 |
2,829 |
2,723 |
2,577 |
2,487 |
2,283 |
|
4 |
3,902 |
3,717 |
3,546 |
3,312 |
3,170 |
2,855 |
|
5 |
4,853 |
4,580 |
4,329 |
3,993 |
3,791 |
3,352 |
|
6 |
5,795 |
5,417 |
5,076 |
4,623 |
4,355 |
3,784 |
|
7 |
6,728 |
6,230 |
5,786 |
5,206 |
4,868 |
4,160 |
|
8 |
7,652 |
7,020 |
6,463 |
5,747 |
5,335 |
4,487 |
|
9 |
8,566 |
7,786 |
7,108 |
6,247 |
5,759 |
4,772 |
|
10 |
9,471 |
8,530 |
7,722 |
6,710 |
6,145 |
5,019 |
Неизвестная процентная (или дисконтная) ставка. Преобразовав базовое уравнение для будущей (приведенной) стоимости аннуитета, можно решить его относительно процентной (или дисконтной) ставки, используемой при начислении сложных процентов, если нам известны: 1) будущая (приведенная) стоимость аннуитета, 2) размер периодической выплаты или получения и 3) применяемое количество периодов. Допустим, что через семь лет вам потребуется по меньшей мере 9500 долл., чтобы отправить своих родителей в захватывающий круиз. Чтобы накопить эту сумму, вы решаете помещать в конце каждого года 1000 долл. на сберегательный счет в банке. Какую минимальную процентную ставку должен обеспечивать этот банк (при условии ежегодного начисления сложных процентов), чтобы осуществился ваш план накопления сбережений?
Чтобы вычислить процентную ставку (г), удовлетворяющую условиям нашей задачи, воспользуемся уравнением (3.9) для будущей стоимости аннуитета:
FVA7=R(FVIFAl7) $9500 = $ 1 0 0 0 ( * У Ж 4 ,7 ) М Д 7 =$9500/$1000 = 9,5.
Просматривая в табл. 3.5 строку, соответствующую восьмилетнему периоду, находим коэффициент будущей стоимости аннуитета (FVIFA), ближайший к вычисленному нами значению, — 9,5. Ближайшим к числу 9,5 значением коэффициента будущей стоимости аннуитета является 9,549, которое мы находим в столбце, соответствующем 5%. Поскольку 9,549 несколько больше, чем 9,5, мы приходим к выводу, что процентная ставка в рассматриваемой ситуации на самом деле должна быть несколько меньше 5%. (Чтобы получить более точный ответ, придется воспользоваться либо методом проб и ошибок, проверяя разные процентные ставки, либо методом интерполяции, либо финансовым калькулятором.)
Неизвестное количество периодов начисления сложных процентов (или дисконтирования). Работая с аннуитетами, нередко приходится сталкиваться с ситуациями, когда известны будущая (приведенная) стоимость аннуитета, процентная ставка и количество периодических выплат (или поступлений) денег. При этом требуется определить сумму каждой равной выплаты (или поступления). В бизнес-целях чаще всего приходится определять периодические выплаты по аннуитету применительно к задачам, связанным с фондом погашения (sinking fund) (т.е. созданием определенного денежного фонда путем взноса равных сумм) и амортизацией займа (loan amotization) (т.е. погашением займа путем выплаты равных сумм).
Чтобы определить величину периодических выплат или получения денег, предусмотренных аннуитетом, необходимо преобразовать базовое уравнение для приведенной (будущей) стоимости аннуитета. Поскольку важному вопросу амортизации займов посвящен специальный раздел в конце этой главы, мы покажем, как вычислить величину периодических выплат применительно к задаче определения фонда погашения.
Какую сумму нужно депонировать в конце каждого года на сберегательный счет, чтобы по истечении восьми лет накопить 10 тыс. долл., если на депозит начисляется доход по 5%-ной ставке? Сумму (К), которую необходимо депонировать на сберегательный счет в конце каждого года, можно вычислить с помощью уравнения (3.9) для будущей стоимости аннуитета. Кроме того, для нахождения стоимости, соответствующей FVIFA5%S, мы воспользуемся табл. 3.5. В результате получаем:
FVAS = R(FVIFA5%,S)
$10000 = ^(9,549)
R = $10 000/9,549 = $1047,23.
Таким образом, депонируя в конце каждого года 1047,23 долл., мы получим на сберегательном счете по истечении восьми лет искомую сумму — 10 тыс. долл. (при использовании 5%-ной ставки для начисления сложных процентов).