Модель Блэка - Шоулза для определения стоимости опциона
В знаменитом научном докладе Фишер Блэк и Нобелевский лауреат Май-рон Шоулз разработали точную модель определения стоимости опциона в условиях рыночного равновесия2. Эта модель опирается на рассмотренное выше понятие хеджирования. Блэк и Шоулз исходят из следующих предпосылок:
• опцион может быть
исполнен только в срок истечения (т.е. рассматри
ваются лишь европейские опционы);
я операционные издержки отсутствуют;
В конкуренция на рынке носит совершенный характер;
• дивиденды по обыкновенным акциям не выплачиваются;
• краткосрочная процентная ставка, по которой участники рынка могут как занимать, так и ссужать деньги, известна;
а курс обыкновенных акций изменяется случайным образом.
С учетом этих допущений можно определить равновесную стоимость опциона. При несовпадении фактической цены опциона и цены, заданной моделью, можно создать безрисковую хеджированную позицию и получить доходность сверх краткосрочной процентной ставки. В дальнейшем, по мере того как на сцену выходят арбитражеры, избыточная доходность в конечном счете будет уменьшаться, и цена опциона сравняется со стоимостью, заданной этой моделью.
|
|
|
Рис. 22А.З. Зависимость между стоимостью опциона и курсом акций корпорации XYZ |
|
2 Fischer Black and Myron Scholes, 'The Pricing of Options and Corporate Liabilities", Journal of Political Economy 81 (May-June 1973),p. 637-654. |
Для иллюстрации хеджированной позиции допустим, что зависимость между стоимостью опциона и курсом акций корпорации XYZ такая, как показано на рис. 22А.З.
Далее предположим, что текущая рыночная цена обыкновенной акции равна 20 долл., а цена опциона — 7 долл. При цене 20 долл. за акцию коэффициент наклона кривой рыночной стоимости (market value line) (см. рис. 22А.З) приближенно равен 0,5 (отношение стоимости опциона к цене акции равно 1/2). Наклон определяет соответствующую хеджированную позицию. Следовательно, в этой конкретной ситуации хеджированная позиция может быть создана покупкой одной акции за 20 долл. и продажей двух опционов по 7 долл. каждый. Количество "чистых денег", инвестированных в эту хеджированную позицию, равняется: 20 долл. - 2(7 долл.) = 6 долл.
Комбинация "длинной позиции" (с одной обыкновенной акцией) и "короткой" (с двумя опционами), по существу, ограждает нас от риска. Если курс обыкновенной акции немного падает, то стоимость опционов в "короткой позиции" возрастает приблизительно на то же значение. Мы говорим приблизительно, поскольку с изменением цены обыкновенной акции (во времени) изменяется и теоретический коэффициент хеджирования опциона. Например, с ростом курса обыкновенной акции наклон кривой рыночной стоимости на рис. 22А.З увеличивается. В результате необходимо продать меньше опционов. Если же цена обыкновенной акции падает, то наклон кривой уменьшается, и для сохранения достигнутого уровня хеджирования нужно продать больше опционов. В дополнение к изменению наклона кривой, вызванного изменением цены акций во времени и приближением даты истечения, сама кривая становится более пологой (см. рис. 22А.1).
Таким образом, для поддержания безрисковой хеджированной позиции "короткую позицию" по опционам необходимо постоянно корректировать в зависимости от изменений цены обыкновенных акций и с течением времени. Это возможно благодаря допущениям модели. Но в реальной жизни из-за операционных издержек постоянно корректировать "короткую позицию" невыгодно. Однако даже в этом случае риск, возникающий в результате умеренного колебания курса обыкновенных акций или носящий временной характер, будет небольшим. Более того, его можно диверсифицировать и поддерживать безрисковую хеджированную позицию. Арбитражные операции гарантируют, что доходность в занятой позиции приближается к уровню краткосрочной безрисковой процентной ставки.
Точная формула модели Блэка—Шоулза и ее значение. В рассмотренном контексте равновесная стоимость опциона V0, которая дает его держателю право приобрести одну акцию, согласно модели Блэка-Шоулза, должна иметь такой вид:
|
|
|
(22А.2) |
У0=(Р5)[М&))-(Е/е"){Ы&)), (22А.2)
|
где Ps — текущий курс обыкновенной акции, лежащей в основе опционного контракта; Е — цена исполнения опциона; е = 2,71828 — основание натурального логарифма; г — краткосрочная, начисляемая по формуле сложных процентов, безрисковая годовая процентная ставка; t — период времени до даты истечения опциона (в годах); |
где Ps — текущий курс обыкновенной акции, лежащей в основе опционного
контракта;
Е — цена исполнения опциона; е = 2,71828 — основание натурального логарифма;
г — краткосрочная, начисляемая по формуле сложных процентов, безрисковая годовая процентная ставка; t — период времени до даты истечения опциона (в годах);
|
|
|
N(d) — вероятность того, что значение нормально распределенной переменной будет меньше, чем d , равное: |
где In — натуральный логарифм;
a — стандартное отклонение годовой доходности акции, начисляемой по формуле сложных процентов.
Значение этой формулы состоит в том, что стоимость опциона является функцией от краткосрочной безрисковой ставки процента; времени до даты истечения и дисперсии доходности акции. При этом стоимость опциона не зависит от ожидаемой доходности акции. Стоимость опциона, в соответствии с формулой (22А.2), увеличивается по мере увеличения периода времени до даты истечения t, стандартного отклонения, а (риска акции), и краткосрочной безрисковой процентной ставки, г. Причины этих связей были описаны выше.
В формуле нам известны текущая цена обыкновенной акции, время до даты истечения, цена исполнения и краткосрочная процентная ставка. Ключевой неизвестной величиной является стандартное отклонение годовой доходности обыкновенной акции. Ее следует вычислить. Обычный способ состоит в использовании прошлой изменчивости доходности обыкновенной акции для прогноза ее будущего значения. Блэк и Шоулз, также как другие ученые, довольно успешно проверили данную модель, используя значения стандартных отклонений доходности, вычисленные на основе прошлых данных. Используя уравнение для определения стоимости опционов, Блэк и Шоулз получили коэффициент хеджирования (hedge ratio) — отношение обыкновенных акций к опционам, необходимое для сохранения полностью хеджированной позиции. В уравнении это — определенное ранее N(dA. Таким образом, модель Блэка-Шоулза позволяет количественно определить различные факторы, влияющие на стоимость опциона. Как мы видели, ключевым из них является оценка будущей изменчивости доходности обыкновенных акций.
Выводы
Подводя итог, мы можем сказать, что вполне возможно создание безрисковой хеджированной позиции в торговле ценными бумагами посредством покупки обыкновенных акций и продажи опционов. Коэффициент хеджирования определяет количество акций в "длинной позиции" относительно проданных опционов. На эффективных финансовых рынках ставка доходности инвестиций в полностью хеджированной позиции должна равняться безрисковой ставке. В этом случае можно определить соответствующую стоимость опциона на начало периода. Если фактическая цена выше или ниже вычисленного значения, арбитражные операции должны откорректировать цену опциона в правильном направлении.
Модель ценообразования опциона Блэка-Шоулза дает точную формулу определения стоимости опциона, основанную на изменчивости доходности обыкновенных акций; текущем курсе акций; цене исполнения опциона; времени до даты истечения опциона и краткосрочной безрисковой процентной ставке. Модель базируется на концепции, согласно которой инвесторы в состоянии разумно поддерживать хеджированные позиции в течение определенного времени, а благодаря арбитражным операциям их доходность будет равна безрисковой процентной ставке. В результате цена опциона корректируется в определенной зависимости от цены обыкновенных акций. Модель Блэка-Шоулза позволяет глубоко проникнуть в суть оценки опционов.