Использование информации о распределении вероятностей
Ожидаемое значение и стандартное отклонение распределения вероятностей возможных величин чистой приведенной стоимости (или, как альтернативный вариант, IRR инвестиций) — независимо от того, каким путем они были получены: с помощью дерева вероятностей, имитационного моделирования или каким-то иным способом, — предоставляют в наше распоряжение достаточно информации, чтобы оценить риск рассматриваемого инвестиционного предложения. Если, например, распределение вероятностей возможных величин чистой приведенной стоимости близко к нормальному, мы можем вычислить вероятность того, что реализация проекта обеспечит чистую приведенную стоимость меньше (или, наоборот, больше) некоторого указанного значения. Эту вероятность можно найти, вычислив площадь области под кривой распределения вероятностей слева (или справа) от интересующей нас точки.
Внутренняя ставка д о х о д н о с т и инвестиций ( % )
Рис. 14.4. Распределение вероятностей для внутренней ставки доходности инвестиций
Обратимся к результатам, полученным нами ранее с помощью дерева вероятностей (предполагается нормальное распределение вероятностей). Допустим, мы хотим определить вероятность того, что чистая приведенная стоимость окажется меньше нуля. Чтобы определить эту вероятность, мы сначала определяем, на сколько величин стандартного отклонения отстоит нуль от ожидаемого значения чистой приведенной стоимости для рассматриваемого проекта (116 долл.). Для этого мы определяем разницу между нулем и 116 долл., а затем нормализуем эту разницу, деля ее на стандартное отклонение возможных величин чистой приведенной стоимости. Общая формула имеет следующий вид:
где Z ("Z-балл") говорит о том, на сколько величин среднеквадратического отклонения отстоит NPV* (именно этот результат нас интересует) от ожидаемого значения; NPV — ожидаемое значение чистой приведенной стоимости; a qw — стандартное отклонение распределения вероятностей. В нашем случае
Полученный результат свидетельствует о том, что нулевое значение чистой приведенной стоимости отстоит на 0,26 стандартного отклонения от ожидаемого значения распределения вероятностей возможных величин чистой приведенной стоимости (по левую сторону от него). (Отрицательное значение Z-балла говорит о том, что мы находимся по левую сторону от среднего значения.)
Чтобы вычислить вероятность того, что чистая приведенная стоимость инвестиционного проекта окажется меньше нуля, обратимся к таблице нормального распределения вероятностей (см. табл. V Приложения, помещенного в конце книги). С ее помощью мы находим, что в случае нормального распределения вероятность того, что какое-то наблюдение будет отстоять на 0,25 среднеквадратического отклонения по левую сторону от ожидаемого значения для этого распределения, равняется 0,4013. Вероятность того, что оно будет отстоять от ожидаемого значения более чем на 0,30 среднеквадратического отклонения, равняется 0,3821. Выполняя интерполяцию, находим, что существует примерно 40%-ная вероятность того, что чистая приведенная стоимость инвестиционного предложения не превысит нулевого значения. Следовательно, нам также известно, что существует 60%-ная вероятность того, что чистая приведенная стоимость инвестиционного предложения окажется больше нуля. Выражая отклонения от ожидаемого значения в виде средне-квадратических отклонений, можно вычислить вероятность того, что чистая приведенная стоимость инвестиционного предложения окажется больше или меньше некоторой заданной величины3.
Проблемы с интерпретацией. Хотя перечисленные выше процедуры дают нам возможность вычислить вероятность того, что чистая приведенная стоимость окажется меньше некоторого заданного значения (например, нуля), полученные результаты иногда с трудом поддаются интерпретации. Это объясняется тем, что чистая приведенная стоимость, как вы, наверное, помните, вычисляется при безрисковой ставке, а не при требуемой минимальной ставке доходности соответствующего проекта. Так что же мы на самом деле имеем в виду, когда, например, говорим, что вероятность отрицательной величины чистой приведенной стоимости равняется 40%?
В этих примерах мы предполагали соблюдение условия нормального распределения. Несмотря на то что соблюдение этого условия очень желательно для удобства вычислений, оно не является обязательным для использования описываемого нами подхода. Даже когда распределение не является нормальным, мы, как правило, можем делать относительно "сильные" вероятностные выводы, используя неравенство Чебышева, которое накладывает определенный верхний предел на ту часть значений, которая относится к "хвостам" любого распределения.
КЛЮЧОМ К ответу на этот вопрос можно считать следующее утверждение: вероятность того, что внутренняя ставка доходности рассматриваемого инвестиционного проекта окажется меньше безрисковой ставки доходности, равняется вероятности того, что чистая приведенная стоимость этого проекта окажется меньше нуля (упомянутая безрисковая ставка используется при дисконтировании)4. Если в качестве потерь в результате неиспользования благоприятной возможности (opportunity loss) мы рассматриваем любую доходность, которая меньше безрисковой ставки, тогда 40%-ную вероятность того, что NPV окажется меньше нуля, можно интерпретировать как 40%-ную возможность потерь в результате неиспользования благоприятной возможности (получение ставки доходности меньше безрисковой ставки), если рассматриваемый инвестиционный проект будет принят. Иными словами, существует 40%-ная вероятность того, что фирме было бы лучше вложить свой капитал в покупку казначейских ценных бумаг, чем в рассматриваемый инвестиционный проект. Однако, даже с учетом этой дополнительной точки зрения на риск (т.е. вероятности потерь из-за неиспользования благоприятной возможности), у нас все же нет очевидных оснований для того, чтобы отвергнуть этот проект. Можно ли рассматривать указанную нами 40%-ную вероятность потерь из-за неиспользования благоприятной возможности достаточным основанием для того, чтобы отвергнуть (или принять) рассматриваемый проект, должно решать руководство фирмы.
Сравнение распределений вероятностей. Знание распределений вероятностей NPV или IRR может оказаться особенно полезным при оценке риска конкурирующих проектов. Допустим, что руководство фирмы рассматривает еще одно инвестиционное предложение (назовем его проектом Y). Распределение вероятностей для этого инвестиционного предложения показано на рис. 14.5 (наряду с предложением, соответствующим нашему дереву вероятностей, которое мы назовем проектом X). Мы видим, что ожидаемое значение чистой приведенной стоимости для проекта Y равняется 200 долл., что выше показателя 116 долл. для проекта X. Более того, проект Y характеризуется меньшей дисперсией, чем проект X. Следовательно, мы можем сказать, что проект Y предпочтительнее проекта X, если исходить из показателей риска проекта и доходности. Будет ли в конечном счете принят проект Y, зависит от готовности руководства фирмы идти на риск. К этому вопросу мы обратимся в следующей главе; здесь же сосредоточимся на измерении степени риска.