Единичные платежи
Будущая (или сложная) стоимость. Для начала рассмотрим ситуацию, когда мы помещаем на сберегательный счет 100 долл. Если процентная ставка равняется 8%, сколько будут стоить эти 100 долл. к концу года при условии ежегодного начисления сложных процентов? Решая эту задачу, мы определяем будущую стоимость (которую в нашем случае можно назвать также сложной стоимостью), которая окажется на этом счете в конце года
FV{ = Р0 (1 + г) = $100(1,08) = $ 1 0 8 .
Интересно отметить, что сумма за первый год совпадает с суммой, которую мы получили бы при использовании простых процентов. Но на этом вся простота заканчивается.
Что произойдет, если мы оставим 100 долл. на сберегательном счете на два года? При использовании сложных годовых процентов, составляющих 8%, начальная сумма вклада (100 долл.) вырастет к концу первого года до 108 долл. По
окончании второго года 108 ДОЛЛ. превратятся уже в 116,64 долл., поскольку 8 долл. в виде процентов начисляются на первоначальные 100 долл., а 0,64 долл. начисляются на 8 долл. процентов, поступивших на наш счет в конце первого года. Иными словами, проценты начисляются на ранее начисленные проценты (отсюда и название — сложные проценты). Таким образом, будущая стоимость в конце второго года составит:
FV2 = Щ (1 + 0 = (1 + 0(1 + 0 = ^«(1 + О2 -= $108(1,08) = $100(1,08)(1,08) = $100(1,08)2 -= $116,64.
По окончании трех лет на нашем счете окажется сумма:
FV3 = FV2(1+0 = 0(1 + 0 = -Ро(1 + О3 ~
= $ 116,64(1,08) = $108(1,08)(1,08) = $ 100(1,08)3 = = $125,97.
В общем случае, FVn, будущая (сложная) стоимость вклада в конце п периодов будет равняться:
FVn=P0(\ + i)n (3.4)
или
FV„=P0(FVIFin), (3.5)
где мы полагаем FVIFin, т.е. коэффициент будущей стоимости при i процентах для п периодов, равным (1+г')и. Табл. 3.2, в которой показаны значения будущей стоимости для нашего примера на конец каждого года из 10 последующих лет с момента помещения 100 долл. на сберегательный вклад, иллюстрирует концепцию начисления процентов на уже начисленные проценты.
Таблица 3.2. Иллюстрация начисления сложных процентов (первоначальный вклад —100 долл., процентная ставка — 8% годовых)
|
Год |
Начальная сумма (долл.) за у |
Проценты, начисленные казанный период (8% от пер начальной суммы) (долл.) |
Будущая с во- мость (FV„) ( |
|
1 |
100,00 |
8,00 |
108,00 |
|
2 |
108,00 |
8,64 |
116,64 |
|
3 |
116,64 |
9,33 |
125,97 |
|
4 |
125,97 |
10,08 |
136,05 |
|
5 |
136,05 |
10,88 |
146,93 |
|
6 |
146,93 |
11,76 |
158,69 |
|
7 |
158,69 |
12,69 |
171,38 |
|
8 |
171,38 |
13,71 |
185,09 |
|
9 |
185,09 |
14,81 |
199,90 |
|
10 |
199,90 |
15,99 |
215,89 |
С помощью калькулятора пользоваться уравнением (3.4) чрезвычайно просто. Кроме того, таблицы составлены для значений (1+г)я — FVIFjn — для широкого диапазона i и п. Эти таблицы, называемые соответственно Таблицами расчета коэффициента будущей (конечной) стоимости (Future Value Interest Factor, Terminal Value Interest Factor), предназначены для совместного использования с уравнением (3.5). Табл. 3.3 представляет собой единый пример, охватывающий различные процентные ставки — от 1 до 15%. Заголовки Процентная ставка (г) и Период (п) в этой таблице напоминают координаты на географической карте. Они помогают нам найти соответствующий коэффициент процентной ставки. Например, коэффициент будущей стоимости при 8% годовых за девять лет (FVIF8%9) находится на пересечении столбца, соответствующего 8%, строки, соответствующей периоду 9, и равняется 1,999. Это число (1,999) означает, что 1 долл., инвестированный при 8% годовых, при начислении сложных процентов принесет вам за девять лет примерно 2 долл.; эта сумма включает первоначальную сумму плюс накопленные проценты. (Более полная таблица — табл. I — приведена в Приложении, помещенном в конце этой книги.)
Таблица 3.3. Коэффициенты будущей стоимости для 1 долл. При использовании ставки / процетов в конце п периодов (FVIFln)
|
(FVIFJ = (1+/)п |
|
Период(п) |
Процентная ставка (I) |
|||||
|
|
1% |
3% |
5% |
8% |
10% |
15% |
|
1 |
1.010 |
1,030 |
1,050 |
1,080 |
1,100 |
1,150 |
|
2 |
1,020 |
1,061 |
1,102 |
1,166 |
1,210 |
1,322 |
|
3 |
1,030 |
1,093 |
1,158 |
1,260 |
1,331 |
1,521 |
|
4 |
1,041 |
1,126 |
1,216 |
1,360 |
1,464 |
1,749 |
|
5 |
1,051 |
1,159 |
1,276 |
1,469 |
1,611 |
2,011 |
|
6 |
1,062 |
1,194 |
1,340 |
1,587 |
1,772 |
2,313 |
|
7 |
1,072 |
1,230 |
1,407 |
1,714 |
1,949 |
2,660 |
|
8 |
1,083 |
1,267 |
1,477 |
1,851 |
2,144 |
3,059 |
|
9 |
1,094 |
1,305 |
1,551 |
1,999 |
2,358 |
3,518 |
|
10 |
1,105 |
1,344 |
1,629 |
2,159 |
2,594 |
4,046 |
|
25 |
1,282 |
2,094 |
3,386 |
6,848 |
10,835 |
32,919 |
|
50 |
1,645 |
4,384 |
11,467 |
46,902 |
117,391 |
1 083,657 |
Если МЫ возьмем коэффициенты FVIF для 1 долл. в столбце 8% и умножим их на 100 долл., то получим числа (если не обращать внимание на некоторые ошибки округления), которые соответствуют нашим вычислениям для 100 долл. в последнем столбце табл. 3.2. Обратите внимание и на то обстоятельство, что в строках,
соответствующих двум и более годам, пропорциональное увеличение будущей стоимости становится большим по мере возрастания процентной ставки. Эту ситуацию можно прояснить с помощью подходящего рисунка. На рис. 3.1 мы отобразили рост будущей стоимости для первоначального вклада, составляющего 100 долл., и процентных ставок 5,10 и 15%. Как видно из этого рисунка, чем больше процентная ставка, тем круче кривая роста, в соответствии с которой увеличивается будущая стоимость. Кроме того, чем больше количество лет, на протяжении которых начисляется сложный процент, тем, очевидно, больше будущая стоимость.
Рис. 3.1. Будущая стоимость депозита в 100 долл., размещенного под 5, 10 и 15% годовых (начисляются сложные проценты)
Сложный рост. Несмотря на то что до сих пор нас интересовали в основном процентные ставки, важно также понимать, что рассматриваемая нами концепция применима к сложному росту любого вида: например, росту цен на бензин, платы за обучение, корпоративной прибыли и дивидендов. Допустим, что самые последние дивиденды, выплачиваемые корпорацией, составляли 10 долл. на акцию, но мы рассчитываем, что эти дивиденды будут увеличиваться, причем ежегодная скорость их роста будет равняться 10%. Мы рассчитываем, что в течение последующих пяти лет дивиденды будут увеличиваться так, как это показано в приведенной ниже таблице.
|
Год |
Коэффициент роста |
Ожидаемые дивиденды на акцию (долл.) |
|
1 |
(1,10)1 |
11,00 |
|
2 |
(1,10)2 |
12,10 |
|
3 |
(1,10)3 |
13,31 |
|
4 |
(1,10)" |
14,64 |
|
5 |
(1,10)5 |
16,11 |