Срочный аннуитет
.В отличие от обычного аннуитета, при котором выплаты или денежные поступления происходят в конце каждого периода, срочный аннуитет (annuity due) предусматривает последовательность выплат или денежных поступлений, происходящих в начале каждого периода. К счастью, решение задач, касающихся срочного аннуитета, требует лишь минимальной модификации уже описанных нами процедур решения задач, касающихся обычного аннуитета.
На рис. 3.6 сравниваются процедуры вычисления будущей стоимости обычного аннуитета величиной 1000 долл., выплачиваемого в течение трех лет при 8% годовых (FVA3), и будущей стоимости срочного аннуитета величиной 1000 долл., выплачиваемого в течение трех лет при 8% годовых (FVAD^). Обратите внимание: создается впечатление, что денежные потоки для обычного аннуитета возникают в конце периодов 1, 2 и 3, а денежные потоки для срочного аннуитета возникают в начале периодов 2, 3 и 4.
Следует также обратить внимание на то, что будущая стоимость трехлетнего срочного аннуитета равняется будущей стоимости сопоставимого трехлетнего обычного аннуитета, с начисленным одним дополнительным периодом. Таким образом, будущая стоимость срочного аннуитета при i процентах для п периодов (FVADJ равняется
FVADn = R(FVIFAin)(l + i). (3.14)
Ответ на вопрос о том, появляется ли денежный поток в конце или в начале периода, зачастую зависит от точки зрения наблюдателя, (Вопрос о том, является ли полночь концом одного дня или началом следующего, относится к той же категории.) Таким образом, истинным критерием, который позволяет различать будущую стоимость обычного аннуитета и срочного аннуитета, является момент, по отношению к которому вычисляется эта будущая стоимость, Для обычного аннуитета его будущая стоимость вычисляется как будущая стоимость всех платежей на момент поступления последнего из них. Для срочного же аннуитета момент расчета его будущей стоимости сдвигается еще на один период после завершающего платежа.
|
|
Рас. 3.6. Временная ось для вычисления будущей (сложной) стоимости обычного аннуитета и срочною аннуитета (периодическое поступление — R = 1000 долл.; i*8%un- 3 года)
Рис. 3.6. Временная ось для вычисления будущей (сложной) стоимости обычного аннуитета и срочного аннуитета (периодическое поступление — R = 1000 долл.; i = 8% ип= 3 года) Определение приведенной стоимости срочного аннуитета при i процентах для п периодов (PVADn) проще всего уяснить на конкретном примере. Рис. 3.7 иллюстрирует вычисления, связанные с определением как приведенной стоимости обычного аннуитета (1000 долл.) при 8% годовых за три года (PVA3), так и приведенной стоимости срочного аннуитета (1000 долл.) при 8% годовых за три года (PVAD3).
Как видно из рис. 3.7, приведенная стоимость трехлетнего срочного аннуитета равняется приведенной стоимости двухлетнего обычного аннуитета плюс одно недисконтированное периодическое поступление или выплата денег. Этот вывод можно обобщить в следующем виде:
PVADn = RiPVIFA,^ ) + R =
= R(PVIFAij,_i + l). (3.15)
И наоборот, приведенную стоимость срочного аннуитета можно рассматривать как приведенную стоимость обычного аннуитета, отнесенного на один период в прошлое. Иными словами, нам требуется приведенная стоимость на один период
зже, че не бходимо для вычисления стоимо и обычного аннуитета. Таким мы могли бы вычислить приведенную стоимость аннуитета за п периодов, а затем начислить ее на один период "вперед". Универсальная формула для такого подхода к определению PVADn имеет следующий вид:
PVADn=(i + i)(R)(PVIFAin). (3.16)
|
|
Рис. 3.7. Временная ось для вычислении приведенной (дисконтированной) стоимости обычного аннуитета и срочного аннуитета (периодическое поступление — R = 1000 долл.; i - 8% ип=3 года)
$2783 = ($1000)(PVIFA8%2+1)
Приведенная стоимость срочного аннуитета п р и 8% годовых за 3 г о д а (PVAD3) Примечание.
( 1 , 0 8 ) ( $ 1 0 0 0 ) ( P V IF A 8o /O ] 3) = $ 2 7 8 3 = ($1000)(FWA8%| 2 + 1) (1,08)($Ю00)(2,577) ' = $2783 = ($1000)(2,783) '
Рис. 3.7. Временная ось для вычисления приведенной (дисконтированной) стоимости обычного аннуитета и срочного аннуитета (периодическое поступление — R = 1000 долл.; г = 8% ип= 3 года)
Рис. 3.7 свидетельствует о том, что оба подхода к определению PVADn одинаково хороши. Однако использование уравнения (3.15) представляется более очевидным. Подход, основанный на использовании временной оси (см. рис. 3.7), также помогает нам уяснить разницу между значениями приведенной стоимости обычного и срочного аннуитета.
Решая задачи, касающиеся определения приведенной стоимости обычного аннуитета, мы считаем, что денежные потоки имеют место в конце временных периодов (в примере, показанном на рис. 3.7, — окончания периодов 1, 2 и 3), и вычисляем приведенную стоимость аннуитета на момент времени, отстоящий на один период от первого денежного потока. Определение приведенной стоимости срочного аннуитета предполагает возникновение денежных потоков в начале временных периодов (в нашем примере это соответствует началу периодов 1, 2 и 3) и вычисление приведенной стоимости аннуитета на момент первого платежа.