Облигации : доходность при погашении ( YTM )
Доходность при погашении облигации (yield to maturity — YTM)
Ожидаемая доходность облигации, которая была куплена по текущему рыночному курсу и хранится до наступления срока ее погашения,
Рыночную ставку доходности облигации, kd, гораздо чаще называют доходностью при погашении (доходностью к погашению) облигации (yield to maturity— YTM). Доходность при погашении облигации— это ожидаемая
ставка доходности облигации, которая была куплена по текущему рыночному курсу и хранится до наступления срока ее погашения. Эта характеристика известна также как действительная (внутренняя) ставка доходности облигации (internal rate of return — IRR). С математической точки зрения это ставка дисконтирования, которая уравнивает приведенную стоимость всех ожидаемых выплат процентов и выплату номинальной стоимости в момент погашения облигации с текущей рыночной ценой этой облигации. Вернемся, например, к уравнению (4.4), которое представляет собой уравнение для оценки стоимости процентной облигации, для которой установлен конечный срок погашения. Заменив действительную стоимость, V, на текущую рыночную цену, Р0, получаем:
Если теперь подставить фактические значения для I, MV и Р0, можно решить это уравнение относительно kd, которое в данном случае представляет собой доходность при погашении облигации. Однако точное вычисление величины доходности при погашении облигации оказывается достаточно сложным. В этом случае могут потребоваться либо таблицы для оценки стоимости облигаций, либо специализированный карманный калькулятор, либо даже компьютер.
Интерполяция. Если в нашем распоряжении есть только таблицы приведенной стоимости, мы можем найти приближенное значение доходности при погашении облигации, воспользовавшись известным методом проб и ошибок. Чтобы проиллюстрировать использование этого метода, рассмотрим облигацию номинальной стоимостью 1000 долл. со следующими характеристиками: текущая рыночная цена равняется 761 долл.; до погашения остается 12 лет; купонная ставка облигации — 8% (проценты выплачиваются ежегодно). Мы хотим определить ставку дисконтирования, которая устанавливает приведенную стоимость ожидаемого будущего денежного потока данной облигации равной ее текущей рыночной цене. Допустим, что мы начинаем с 10%-ной ставки дисконтирования и вычисляем приведенную стоимость ожидаемых будущих денежных потоков данной облигации. Воспользовавшись табл. II и IV Приложения, помещенного в конце книги, и соответствующими значениями коэффициентов приведенной стоимости, находим:
V = $80(PVIFAia%A2) + $lOQO(PVIFl0%i2)
= $80(6,814) + $1000(0.319) = S864,12.
Таким образом, 10%-ная ставка дисконтирования обеспечивает для этой облигации результирующую приведенную стоимость, превышающую ее текущую рыночную цену (761 долл.). Следовательно, нужно задать более высокую ставку дисконтирования, которая еще больше уравновесила бы будущие денежные потоки и снизила бы их приведенную стоимость до 761 долл. Попробуем задать 15%-ную ставку дисконтирования:
V = S80(PVIFAi5%12)
+ $1000(PVIFl5XA2)
= $80(5,421) + $1000(0,187) = $620,68.
На этот раз выбранная нами ставка дисконтирования оказалась завышенной. Рассчитанная приведенная стоимость — меньше, чем текущая рыночная цена (761 долл.). Ставка, необходимая для дисконтирования ожидаемых будущих денежных потоков данной облигации до уровня 761 долл., должна находиться в интервале от 10 до 15%.
Интерполяция (interpolation)
Оценка величины неизвестного числа, которое находится где-то между двумя известными числами.
Чтобы аппроксимировать эту ставку дисконтирования, мы выполняем интерполяцию между 10 и 15%8.
В этом примере X = YTM - 0,10, поэтому YTM = 0,10 + X = 0,10 + 0,0212 = 0,1212, или 12,12%. С помощью компьютера можно вычислить точное значение доходности при погашении облигации — 11,82%. Важно помнить, что интерполяция позволяет получить лишь приближенное значение истинного процентного показателя: взаимосвязь между двумя ставками дисконтирования не является линейной по отношению к приведенной стоимости. Однако чем уже диапазон ставок дисконтирования, который мы используем при интерполяции, тем ближе полученный ответ к истинном}' значению. Например, если бы мы использовали диапазон от И до 12%, наш ответ оказался бы еще ближе к "истинному" значению доходности при погашении облигации — 11,82%.
Поведение цен облигаций. Уяснив суть уравнения (4.22), мы можем сделать ряд выводов относительно цен облигаций.
С математической точки зрения мы могли бы обобщить нашу интерполяцию ставки дисконта следующим образом:
Интерполированная ставка дисконтирования = iL + — — ^ — р у . — ,
где \\_ — ставка дисконтирования, которая должна быть несколько ниже, чем YTM (или IRR) данного капиталовложения, iH — ставка дисконтирования, которая должна быть несколько выше, чем YTM данного капиталовложения, PV L — приведенная стоимость данного капиталовложения при ставке дисконтирования, равной iL, PV H — приведенная стоимость данного капиталовложения при ставке дисконтирования, равной iH , PVYTM — приведенная стоимость данного капиталовложения при ставке дисконтирования, равной YTM данного капиталовложения, что (по определению) должно равняться текущей цене финансового инструмента, в который сделано данное ка-питаловчожение.
Дисконт по облигации (bond discount)
Величина, на которую номинальная стоимость облигации превышает ее текущую, рыночную, цену,
Премия по облигации (bond premium)
Величина, на которую текущая, рыночная, цена облигации превышает ее номинальную стоимость.
Процентный риск (interest-rate (or yield) risk)
Колебания курса ценной бумаги, вызванное изменениями процентных ставок.
1. Когда рыночная ставка доходности оказывается больше, чем купонная ставка облигации, цена этой облигации будет меньше, чем ее номинальная стоимость. Говорят, что такая облигация продается с дисконтом от ее номинальной стоимости. Величина, на которую номинальная стоимость превышает текущую цену, называется дисконтом по облигации (bond discount).
2. Когда рыночная ставка доходности оказывается меньше, чем купонная ставка облигации, цена этой облигации будет больше, чем ее номинальная стоимость. Говорят, что такая облигация продается с премией к ее номинальной стоимости. Величина, на которую текущая цена превышает номинальную стоимость, называется премией по облигации (bond premium).
3. Когда рыночная ставка доходности равняется купонной ставке облигации, цена этой облигации будет равняться ее номинальной стоимости. Говорят, что такая облигация продается по своей номинальной стоимости.
СОВЕТ
ЕСЛИ облигация продается с ДИСКОНТОМ, тогда Р0 < номинальной стоимости, a YTM > купонной ставки облигации,
Если облигация продается по своей номинальной стоимости, тогда Р0 = номинальной стоимости, а YTM = купонной ставке облигации,
Если облигация продается с премией, тогда Р0 > номинальной стоимости, a YTM < купонной ставки облигации,
4. Если процентные
ставки повышаются и происходит увеличение рыноч
ной ставки доходности, то это приводит к падению цен облигаций. Если
процентные ставки падают, цены облигаций повышаются. Иными сло
вами, процентные ставки и цены облигаций находятся в обратно про
порциональной зависимости между собой.
Из последнего вывода следует, что колебания процентных ставок порождают колебания цен облигаций. Такое изменение рыночной цены облигации, вызванное изменениями процентных ставок, называется процентным риском (interest-rate risk, yield risk). Важно отметить, что инвестор подвергается риску возможных убытков, связанному с процентным риском, лишь в том случае,
если ценная бумага продается до наступления срока ее погашения и с момента ее покупки уровень процентных ставок повысился.
Еще одну взаимосвязь, не столь очевидную, как четыре предыдущих наших вывода, следует проиллюстрировать отдельно.
5. При заданном
изменении рыночной доходности цена облигации будет
изменяться на тем большую величину, чем больше времени остается до
срока ее погашения.
Вообще, чем больше времени остается до срока погашения облигации, тем большими оказываются флуктуации цены, связанные с заданным изменением рыночной ставки доходности. Чем ближе по времени вы оказываетесь к этой относительно большой стоимости погашения, тем меньше сказываются на определении рыночной цены соответствующей ценной бумаги выплаты процентов по ней и тем менее важными для рыночной цены этой облигации будут изменения рыночной ставки доходности. В принципе, чем больше времени остается до срока погашения облигации, тем большим оказывается риск изменения цены для инвестора, если наблюдаются изменения общего уровня процентных ставок.
Рис. 4.1 иллюстрирует сравнение двух облигаций, которые отличаются лишь сроками погашения. Чувствительности цен 5- и 15-летней облигаций показаны относительно изменений рыночной ставки доходности. Как нетрудно предположить, у облигации с более отдаленным сроком погашения наблюдается более значительное изменение цены при любом заданном изменении рыночной доходности. (Все точки этих двух кривых получены с помощью уравнения (4.22), определяющего текущую рыночную цену.)
Еще одну, последнюю, взаимосвязь, известную как купонный эффект (coupon effect), мы также рассмотрим отдельно.
6. При заданном
изменении рыночной ставки доходности цена облигации
будет изменяться тем больше, чем ниже ее купонная ставка. Иными
словами, изменчивость цены облигации связана с изменением купонной
ставки обратно пропорциональной зависимостью.
Этот эффект вызван тем, что чем ниже купонная ставка облигации, тем большая величина дохода инвестора связана с основной выплатой при погашении облигации (в противоположность промежуточным выплатам процентов). Иными словами, в случае облигации с низкой купонной ставкой инвесторы реализуют свою доходность позже, чем в случае облигации с высокой купонной ставкой. Вообще говоря, чем к более отдаленному будущему относится большая часть потока выплат, тем большим оказывается эффект подсчета приведенной стоимости, вызванный изменением требуемой доходности9. Даже если облигации с высокой и низкой купонными ставками характеризуются одним и тем же сроком погашения, цена облигации с низкой купонной ставкой, как правило, более изменчива.
Тем, кто интересуется подробностями, советуем обратиться к книге С. Van Ноте, Financial Market R a t e s and Flows, 6" ed. (Upper Satdle River, NJ: Prentice Hall, 2001), Chap. 6.
Рис. 4.1. Взаимосвязь "цена-доходность" для двух облигаций. Каждая кривая "цена-доходность" представляет совокупность цен на соответствующую облигацию для различных вариантов рыночной ставки доходности
YTM и начисление сложных процентов раз в полгода. Как уже указывалось, проценты по большинству облигаций в США выплачиваются не ежегодно, а раз в полгода. Это реально существующее усложнение зачастую игнорируется теми, кто пытается упростить обсуждение данного вопроса. Для определения величины доходности при погашении облигации мы можем, однако, учесть полугодичную выплату процентов, подставив в уравнение оценки облигации (4.8) вместо действительной стоимости, V, текущую рыночную цену, Р0. Уравнение примет следующий вид:
Решая это уравнение относительно kd/2, получим величину полугодичной доходности при погашении облигации.
Практика удвоения полугодичной Y T M используется по соглашению всеми лицами, занимающимися торговлей облигациями, для введения понятия "годичной" (номинальной ежегодной) YTM, или того, что среди лиц, занимающихся торговлей облигациями, принято называть эквивалентной доходностью облигации (bond-equivalent yield). Соответствующая процедура, однако, заключается в возведении в квадрат суммы 1 и полугодичной Y T M с последующим вычитанием 1, т.е.
(1 + полугодичная Y T M ) 2 -1 = YTM .
Как вы, наверное, помните из главы 3, только что вычисленная нами Y T M представляет собой эффективную годовую процентную ставку.