Ожидаемая доходность и стандартное отклонение
Ожидаемая доходность (expected return) R :
где Rt — i-я возможная доходность, P — ее вероятность, а п — общее число возможных вариантов доходностей. Таким образом, ожидаемая доходность представляет собой средневзвешенное значение возможных ее величин, причем весовыми коэффициентами являются вероятности их наступления. В приведенном в табл. 5.1 примере ожидаемая доходность составляет 9%.
Ожидаемая доходность (expected return)
Средневзвешенная величина возможных значений доходности, где весовыми коэффициентами являются вероятности их наступления.
ДЛЯ завершения описания нашего распределения вероятностей с помощью двух параметров необходимо определить разброс, или величину изменчивости, ожидаемой доходности. Обычно разброс величин измеряется стандарт-
ным отклонением (standard deviation). Чем больше стандартное отклонение доходности, тем больше ее изменчивость и, следовательно, выше риск инвестиции.
Стандартное отклонение а определяется математической формулой
Квадрат стандартного отклонения а2 называют дисперсией (variance) распределения доходности. Технически мы вначале рассчитываем именно ее как средневзвешенное квадратов отклонений возможных величин доходности от ожидаемой доходности, где весовыми коэффициентами являются вероятности. Затем квадратный корень из полученной величины дает нам стандартное отклонение. Из табл. 5.1 видно, что в нашем примере распределения доходно-стей дисперсия составляет 0,00703. Извлекаем корень квадратный из этой величины и находим стандартное отклонение, которое равняется 8,38%.
Стандартное отклонение (standard deviation)
Статистическая мера изменчивости распределения значений величины относительно среднего ожидаемого значения, Равна корню квадратному из дисперсии.
Таблица 5.1. Пример использования распределения вероятностей для расчета ожидаемой доходности и ее стандартного отклонения (за год)
|
|
|
Расчет математического ожидания доходности (ожидаемой доходности) |
Расчет величины дисперсии (о2) |
|
Возможная доходность, /?, |
Вероятность наступления, Р, |
<R,)(P,) |
|
|
-0,10 |
0,05 |
-0,005 |
(-О,10-0,09)2(0,05) |
|
-0,02 |
0,10 |
-0,002 |
(-0,02-0,09)2(0,10) |
|
0,04 |
0,20 |
0,008 |
(0,04-0,09)2(0,20) |
|
0,09 |
0,30 |
0,027 |
(0,09-0,09)2(0,30) |
|
0,14 |
0,20 |
0,028 |
(0,14-0,09)2(0,20) |
|
0,20 |
0,10 |
0,020 |
(0,20-0,09)2(0,10) |
|
0,28 |
0,05 |
0,014 |
(0,28-0,09)2(0,05) |
|
|
Е = 1,00 |
Е = 0,090 = /? |
£ = 0,00703 = ст2 |
|
|
|
Стандартное отклонение = (0,00703)а5 = 0,0838 = а |
Практическое применение стандартного отклонения. До сих пор мы имели дело с дискретным (discrete) (не непрерывным) распределением, где случайная величина, как, например, доходность, может принимать лишь определенные значения в некотором интервале. В таком случае для определения вероятности наступления события нет необходимости рассчитывать стандартное отклонеГлава 5. Риск и доходность 193
ние. Чтобы выяснить, какова вероятность того, что доходность в нашем примере окажется меньше нуля, обратимся к затененной части табл. 5.1: она составляет: 0,05 + 0,10 = 15%. Процесс несколько усложняется для непрерывного (continuous) распределения, где случайная величина может принимать любое значение в данном интервале. А именно такое распределение более реалистично описывает доходность обыкновенных акций, потому что для инвестора возможны любые ее величины: от больших убытков до значительной прибыли.
Предположим, что речь идет о нормальном (normal) (непрерывном) распределении вероятностей доходности. Его графическое представление имеет форму симметричного колокола, при этом 68% площади под кривой приходится на отрезок, включающий одно стандартное отклонение вправо и одно влево от ожидаемой величины доходности (ее математического ожидания), 95% — на отрезок с двумя стандартными отклонениями по обе стороны и более 99% — на три. Выражая разность заданного значения доходности и математического ожидания в величинах стандартного отклонения, можно определить вероятность того, что реальная доходность окажется больше или меньше заданного значения.
Проиллюстрируем сказанное числовым примером. Пусть распределение вероятностей приблизительно нормальное, ожидаемая доходность равна 9%, а стандартное отклонение — 8,38%. Скажем, мы хотим рассчитать вероятность того, что доходность окажется меньше нуля. Вначале определим, на сколько стандартных отклонений значение доходности (0%) отстоит от среднего значения распределения (т.е. 9%). Для этого разность указанных значений, равную -9%, делим на величину стандартного отклонения. Получаем результат -0,09/0,0838 = -1,07 стандартного отклонения. (Отрицательная (negative) величина напоминает, что мы рассматриваем значение слева (left) от среднего). В общем случае используется формула
|
|
(5.4)
где R — граница рассматриваемого диапазона значений доходности, a Z (показатель Z) говорит о том, на сколько стандартных отклонений R отстоит от среднего значения.
Табл. V Приложения, помещенного в конце книги, следует пользоваться для определения того, какую часть от целого составляет площадь под кривой нормального распределения, если она отстоит влево или вправо от среднего значения на Z стандартных отклонений. Эта часть и будет равна вероятности того, что реальная доходность окажется отличающейся от ожидаемой доходности на Z стандартных отклонений.
По этой же таблице находим, что вероятность того, что реальная доходность окажется нулевой или меньше, равна 14%. Распределение вероятностей изображено на рис. 5.1. Заштрихованная область, отстоящая на 1,07 стандартного отклонения влево от среднего значения, представляет приблизительно 14% всей площади распределения вероятностей.
Итак, стандартное отклонение в распределении вероятностей доходности — весьма универсальная мера риска. Оно может служить абсолютной мерой изменчивости доходности: чем больше стандартное отклонение, тем более неопределенно будущее развитие событий. Кроме того, с его помощью можно определить вероятность того, что реальное значение доходности окажется больше или меньше некоторого заданного нами. Однако мнения расходятся и в этом вопросе: существует такая точка зрения, что следует рассматривать только значения доходности ниже ожидаемого значения ("downside" risk), а не риск того, что колебания доходности будут выше и ниже среднего значения. В этом есть свой смысл. Тем не менее, если распределение вероятностей доходности относительно симметрично, т.е. его части выше и ниже средней величины представляют собой зеркальное отображение, можно смело использовать стандартное отклонение. Но чем оно значительнее, тем выше вероятность больших разочарований.
Рис. 5.1. Нормальное распределение вероятностей возможных величин доходности. Рассмотренная в примере заштрихованная область отстоит от среднего значения на 1,07 стандартного отклонения влево
Коэффициент вариации
Стандартное отклонение может сослужить плохую службу при сравнении рисков или неопределенностей, сопровождающих различающиеся размером варианты инвестиций. Рассмотрим две инвестиционные возможности А и В, для которых доходность за год подчиняется нормальному распределению со следующими параметрами.
|
|
Инвестиция А |
Инвестиция В |
|
Ожидаемая доходность, R |
0,08 |
0,24 |
|
Стандартное отклонение, а |
0,06 |
0,08 |
|
Коэффициент вариации, CV |
0,75 |
0,33 |
Стандартное отклонение в случае В больше, чем в случае А. Следует ли из этого заключить, что В — более рискованное капиталовложение? Если использовать стандартное отклонение в качестве меры риска — да. Однако по сравнению с ожидаемым значением доходности величина ее отклонения дтя инвестиции А больше. Аналогично ситуации, когда стандартное отклонение в 10 тыс. долл. для годового дохода мультимиллионера значит намного меньше, чем 8000 долл. — для человека с обычными доходами. Чтобы подогнать задачу под размеры величин или масштабы, рассчитывают коэффициент вариации (CV) (coefficient of variation) как частное стандартного отклонения и ожидаемой доходности:
Коэффициент вариации (С V) = а/ R. (5.5)
Коэффициент вариации (CV) (coefficient of variation)
Отношение стандартного отклонения распределения какой-либо величины к среднему значению этого распределения. Служит мерой относительного (relative) риска.
Таким образом, коэффициент вариации служит мерой относительной дисперсии (риска) (relative dispersion (risk)), т.е. величиной риска, "приходящегося на единицу ожидаемой доходности". Чем больше CV, тем больше относительный риск инвестиции. Используя в качестве меры этот показатель, приходим к выводу, что инвестиция А с CV = 0,75 более рискованная, чем инвестиция В, для которой CV составляет лишь 0,33.