Непрерывное начисление сложных процентов
Иногда проценты начисляются непрерывно. Таким образом, небесполезно было бы рассмотреть, как это происходит на практике. Вспомним, что общая формула (3.17) для вычисления будущей стоимости по истечении п лет имеет следующий вид:
FVn=PV0(l+[i/m]r.
Когда т (частота начисления процентов на протяжении одного года) стремится к бесконечности (°°), мы получаем ситуацию непрерывного начисления
процентов, а член (1+[г/т])тп стремится к ein, где е приблизительно равняется 2,71828. Следовательно, будущая стоимость первоначального депозита РУ0 по истечении п лет — при условии непрерывного начисления процентов (процентная ставка равняется г) — составит:
FVn=PVu(e)in. (3.19)
Вернемся к нашему примеру. Будущая стоимость вклада в 100 долл. по истечении трех лет в случае непрерывного начисления процентов (процентная ставка равняется 8%) составит:
FV3=$100(e)(0'08K3)
= $100(2,71828)((Ш) =$127,12,
Сравним полученное нами значение с величиной будущей стоимости в случае ежегодного начисления процентов:
FV3 = $100(1 + 0,08)3 = $125,97.
Непрерывное начисление сложных процентов позволяет получить максимально возможную будущую стоимость по истечении п периодов при заданной номинальной процентной ставке.
Используя тот же ход рассуждений, приходим к выводу, что в случае непрерывного начисления процентов формула для приведенной стоимости денежного потока, получаемого по истечении п лет, примет следующий вид:
PV0=FVn/(eyn. (3.20)
Таким образом, приведенная стоимость 1000 долл., которые мы получим по истечении 10 лет при начисляемой непрерывно 20%-ной ставке дисконтирования, составляет:
РУ0=$1000/(е)<0'20)(10>
= $1000/(2,71828)2 =$135,34.
Из полученных нами результатов можно сделать вывод о том, что вычисление приведенной стоимости в связи с непрерывным начислением процентов представляет собой процесс, обратный вычислению будущей стоимости. Следует также отметить, что в то время как непрерывное начисление процентов позволяет получить максимально возможную будущую стоимость, оно же приводит к минимально возможной приведенной стоимости.
ВОПРОС — О Т В Е Т
Объясните ситуацию, когда банк предлагает клиентам привлечь их средства на сберегательный вклад или приобрести депозитный сертификат на условиях начисления годовой процентной доходности ?
Основываясь на одном из законов, принятых Конгрессом США, Федеральная резервная система (ФРС) США требует, чтобы банки и прочие ссудосбере-гательные учреждения использовали стандартный метод вычисления эффективных процентных ставок, которые они выплачивают по сберегательным счетам клиентов. Этот метод называется подсчетом годовой процентной доходности (annual percentage yield — APY), Полагают, что применение APY должно избавить нас от путаницы, вызванной тем, что различные сберегательные учреждения используют разные методы начисления процентов и разную терминологию, например эффективная доходность, годовая доходность и эффективная ставка. АРУ схож с эффективной (действующей) годовой процентной ставкой (effective annual interest rate), Однако вычисление APY основывается на фактическом количестве дней в году (год включает 365 или 366 дней, если он високосный), в течение которых деньги находятся на сберегательном счете.
В том же духе Закон о прозрачности кредитования (Truth-in-Lending Act) обязует все финансовые институты сообщать об эффективных процентных ставках по любому займу. Такая ставка называется годовой процентной ставкой (annual percentage rate —APR). Однако финансовые институты не обязаны сообщать об "истинной" эффективной годовой процентной ставке как APR, Вместо этого они могут сообщать версию эффективной годовой процентной ставки, не начисляемую по методу сложных процентов. Допустим, например, что некий банк предоставляет кредит менее чем на год, или проценты должны начисляться чаще, чем раз в год. При этом банк должен определить эффективную периодическую процентную ставку (effective periodic interest rate) — основываясь на величине используемых денежных средств (т.е. величине денежных средств, которую заемщик реально может использовать), — а затем просто умножить эту ставку на количество периодов начисления в году. В результате получится APR.